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高二数学选修4-1《几何证明选讲》综合复习题
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.如图4所示,圆O的直径AB=6,C为圆周上一点,BC=3过C作
圆的切线l,过A作l的垂线AD,垂足为D,则∠DAC =( )
A. B. C. D.
【解析】由弦切角定理得 ,又 ,故 ,
故选B.
2.在 中, 、 分别是斜边 上的高和中线,是该图中共有 个三角形与 相似,则 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】2个: 和 ,故选C.
3.一个圆的两弦相交,一条弦被分为12 和18 两段,另一弦被分为 ,则另一弦的长为( )
A. B. C. D.
【解析】设另一弦被分的两段长分别为 ,由相交弦定理得 ,解得 ,故所求弦长为 .故选B.
4.如图,在 和 中, ,若 与
的周长之差为 ,则 的周长为( )
A. B. C. D.25
【解析】利用相似三角形的相似比等于周长比可得答案D.
5. 的割线 交 于 两点,割线 经过圆心,已知 ,则 的半径为( )
A.4 B. C. D.8
【解析】设 半径为 ,由割线定理有 ,解得 .故选D.
6.如图, 是半圆 的直径,点 在半圆上, 于点 ,
且 ,设 ,则 ＝( )
A. B. C. D.
【解析】设半径为 ,则 ,由 得 ,从而 ,故 ,选A.
7.在 中, 分别为 上的点,且 , 的面积是 ,梯形 的面积为 ,则 的值为( )
A. B. C. D.
【解析】 ,利用面积比等于相似比的平方可得答案B.
8.半径分别为1和2的两圆外切,作半径为3的圆与这两圆均相切,一共可作( )个.
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】一共可作5个,其中均外切的2个,均内切的1个,一外切一内切的2个,故选D.
9.如图甲,四边形 是等腰梯形, .由4个这样的
等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形,
则四边形 中 度数为 ( )
A. B. C. D.
【解析】 ,从而 ,选A.
10.如图,为测量金属材料的硬度,用一定压力把一个高强度钢珠
压向该种材料的表面,在材料表面留下一个凹坑,现测得凹坑
直径为10mm,若所用钢珠的直径为26 mm,则凹坑深度为( )
A.1mm B.2 mm C.3mm D.4 mm
【解析】依题意得 ,从而 ,
故 ,选A.
11.如图,设 为 内的两点,且 , ＝ ＋ ,则 的面积与 的面积之比为( )
A. B. C. D.
【解析】如图,设 , ,则 .
由平行四边形法则知 ,所以 ＝ ,
同理可得 ．故 ,选B.
12.如图,用与底面成 角的平面截圆柱得一椭圆截线,则该椭圆的
离心率为 ( )
A． B． C． D．非上述结论
【解析】用平面截圆柱,截线椭圆的短轴长为圆柱截面圆的直径,弄清了这一概念,考虑椭圆所在平面与底面成 角,则离心率 .故选A.
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.
13.一平面截球面产生的截面形状是_______;它截圆柱面所产生的截面形状是________
【解析】圆;圆或椭圆.
14.如图,在△ABC中,AB＝AC,∠C＝720,⊙O过A、B两点且
与BC相切于点B,与AC交于点D,连结BD,若BC＝ ,
则AC＝
【解析】由已知得 , ,
解得 .
15.如图, 为 的直径,弦 、 交于点 ,
若 ,则 =
【解析】连结 ,则 ,又 ,
从而 ,
所以 .
16.如图为一物体的轴截面图,则图中R的值
是
【解析】由图可得 ,解得 .
三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
如图: 是 的两条切线, 是切点, 是
上两点,如果 ,试求 的度数.
【解析】连结 ,根据弦切角定理,可得
.
18.(本小题满分12分)
如图,⊙ 的直径 的延长线与弦 的延长线相交于点 ,
为⊙O上一点, , 交 于点 ,且 ,
求 的长度.
【解析】连结 ,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系
结合题中条件 可得 ,又 ,
,从而 ,故 ,∴ ,
由割线定理知 ,故 .
19.(本小题满分12分)
已知:如右图,在等腰梯形ABCD中,AD‖BC,
AB＝DC,过点D作AC的平行线DE,交BA的延长线于
点E．求证：(1)△ABC≌△DCB (2)DE•DC＝AE•BD．
【解析】证明：(1) ∵四边形ABCD是等腰梯形,∴AC＝DB
∵AB＝DC,BC＝CB,∴△ABC≌△BCD
(2)∵△ABC≌△BCD,∴∠ACB＝∠DBC,∠ABC＝∠DCB
∵AD‖BC,∴∠DAC＝∠ACB,∠EAD＝∠ABC
∵ED‖AC,∴∠EDA＝∠DAC ∴∠EDA＝∠DBC,∠EAD＝∠DCB
∴△ADE∽△CBD ∴DE:BD＝AE:CD, ∴DE•DC＝AE•BD.
20.(本小题满分12分)
如图,△ABC中,AB=AC,AD是中线,P为AD上一点,CF‖AB,BP延长线交AC、CF于E、F,求证: PB =PE•PF．
【解析】连结 ,易证
∵ ∴ ,从而
又 为 与 的公共角,
从而 ,∴ ∴
又 , ∴ ,命题得证.
21.(本小题满分12分)
如图, 是以 为直径的 上一点, 于点 ,
过点 作 的切线,与 的延长线相交于点 是
的中点,连结 并延长与 相交于点 ,
延长 与 的延长线相交于点 .
(1)求证: ；
(2)求证: 是 的切线；
(3)若 ,且 的半径长为 ,求 和 的长度.
【解析】(1)证明： 是 的直径, 是 的切线,
．又 , ．
易证 , ．
． ．
是 的中点, ． ．
(2)证明：连结 ． 是 的直径, ．
在 中,由（1）,知 是斜边 的中点,
． ．又 , ．
是 的切线, ．
, 是 的切线．
(3)过点 作 于点 ． , ．
由(1),知 , ．
由已知,有 , ,即 是等腰三角形．
, ． , ,即 ．
, 四边形 是矩形, ．
,易证 ． ,即 ．
的半径长为 , ． ．
解得 ． ． , ． ．
在 中, , ,由勾股定理,得 ．
．解得 （负值舍去）． ．
〔或取 的中点 ,连结 ,则 ．易证 , ,故 , ．由 ,易知 , ．
由 ,解得 ．又在 中,由勾股定理,得
, （舍去负值）．〕
22.(本小题满分14分)
如图1,点 将线段 分成两部分,如果 ,那么称点 为线段 的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时,由黄金分割点联想到“黄金分割线”,类似地给出“黄金分割线”的定义:直线 将一个面积为 的图形分成两部分,这两部分的面积分别为 , ,如果 ,那么称直线 为该图形的黄金分割线.
(1)研究小组猜想：在 中,若点 为 边上的黄金分割点(如图2),则直线 是 的黄金分割线．你认为对吗?为什么?
(2)请你说明:三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线?
(3)研究小组在进一步探究中发现：过点 任作一条直线交 于点 ,再过点 作直线 ,交 于点 ,连接 (如图3),则直线 也是 的黄金分割线．请你说明理由．
(4)如图4,点 是 的边 的黄金分割点,过点 作 ,交 于点 ,显然直线 是 的黄金分割线.请你画一条 的黄金分割线,使它不经过 各边黄金分割点.
【解析】(1)直线 是 的黄金分割线.理由如下:设 的边 上的高为 ．
, , ,所以 ,
又因为点 为边 的黄金分割点,所以有 ．因此 ．
所以,直线 是 的黄金分割线.
(2)因为三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分,此时 ,即 ,所以三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线.
(3)因为 ,∴ 和 的公共边 上的高也相等,所以有
设直线 与 交于点 ．所以 ．所以
, ．
又因为 ,所以 .
因此,直线 也是 的黄金分割线．
(4)画法不惟一,现提供两种画法；
画法一：如答图1,取 的中点 ,再过点 作一条直线分别交 , 于 , 点,则直线 就是 的黄金分割线．
画法二:如答图2,在 上取一点 ,连接 ,再过点 作 交 于点 ,连接 ,则直线 就是 的黄金分割线．