范德蒙行列式
范德蒙行列式
范德蒙行列式
范德蒙行列式
(1) 考虑增广矩阵的行列式
|A,b| = (a2-a1)(a3-a1)(a4-a1)(a3-a2)(a4-a2)(a4-a3)≠0
所以 r(A)=3,r(A,b)=4
所以方程组无解.
(2) 增广矩阵(A,b) =
1 k k^2 k^3
1 -k k^2 -k^3
1 k k^2 k^3
1 -k k^2 -k^3
r3-r2,r2-r1,r4-r1
1 k k^2 k^3
0 -2k 0 -2k^3
0 0 0 0
0 0 0 0
因为k≠0,所以 r(A)=r(A,b)=2.
所以Ax=0的基础解系含 3-r(A)=1 个解向量.
所以非零解向量β1-β2是Ax=0的一个基础解系
所以方程组的通解为:
β1+c(β1-β2)=(-1,1,1)^T+c(-2,0,2)^T.
证明：
I〉
设从上到下的四个方程为（1）~（4）式
若a1~a4两两不等，则
(2)-(1):(a2-a1)x2+(a2-a1)(a2+a1)x3=(a2-a1)(a2^2+a1^2+a1*a2)
因为a1不等于a2，所以化简为x2+(a1+a2)x3=a1^2+a1*a2+a2^2 (5)
同理可得：x2+(a1+a3)x3=a1^2+a1*a...
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证明：
I〉
设从上到下的四个方程为（1）~（4）式
若a1~a4两两不等，则
(2)-(1):(a2-a1)x2+(a2-a1)(a2+a1)x3=(a2-a1)(a2^2+a1^2+a1*a2)
因为a1不等于a2，所以化简为x2+(a1+a2)x3=a1^2+a1*a2+a2^2 (5)
同理可得：x2+(a1+a3)x3=a1^2+a1*a3+a3^2 (6)
x2+(a1+a4)x3=a1^2+a1*a4+a4^2 (7)
再(6)-(5): (a3-a2)x3=(a3-a2)(a1+a2+a3)，化简：x3=a1+a2+a3
同理(7)-(5)并化简：x3=a1+a2+a4
则a3=a4，矛盾
故命题得证。
II〉
将A=(-1,1,1)^T和B=(1,1,-1)^T代入：
-1+a1+a1^2=a1^3
-1-a1+a1^2=-a1^3
解得a1=1或-1
即：
x1+x2+x3=1
x1-x2+x3=-1
方程通解为kA+(1-k)B
收起
解: 作辅助行列式D1 = 1 1 1 1 1 a b c d x a^2 b^2 c^2 d^2 x^2 a^3 b^3 c^3 d^3 x^3 a^4 b^4 c^4 d^4 x^4 此