在正三棱锥S-ABC中,M,N分别是棱SC,BC的中点,且MN垂直于AN,若侧棱SA为2倍根号3,求正三棱锥S-ABC外接球的表面积
在正三棱锥S-ABC中,M,N分别是棱SC,BC的中点,且MN垂直于AN,若侧棱SA为2倍根号3,求正三棱锥S-ABC外接球的表面积
在正三棱锥S-ABC中,M,N分别是棱SC,BC的中点,且MN垂直于AN,若侧棱SA为2倍根号3,求正三棱锥S-ABC外接球的表面积
在正三棱锥S-ABC中,M,N分别是棱SC,BC的中点,且MN垂直于AN,若侧棱SA为2倍根号3,求正三棱锥S-ABC外接球的表面积
方法一：不用太复杂,教你一个简单办法!
因为是正三棱锥,所以SB垂直AC.MN平行SB,所以SB垂直AM.
所以SB垂直面SAC.
同理,由正三棱锥的对称性可知,SA垂直面SBC,SC垂直面SAB.
所以SA、SB、SC两两垂直.
接下来,将S-ABC还原为一个正方体,其外接圆半径即为正方体对角线的一半,即R=√3a/2,外接球的表面积S=4πR^2=3πa^2
方法二：SA=SB=SC=a
so we can make AB=BC=CA=b,
通过a&b的关系,求解整个图形的形状,because知道边的数量关系就可以找圆心了.
数量关系在哪呢?MN垂直于AM
勾古定理可得AN^2=AM^2+MN^2
底面已设AB=BC=CA=b,so we can know that AN=b*（√3）/2
中线定理,有MN=1/2*SB=1/2*a
AM=?,AM是ΔSAC在SC边上的中线,cos∠SCA=cos∠SAC=b/2a
在ΔAMC中,MC=a/2,AC=b,AM=x,cos∠SCA=b/2a
用余弦定理,cos∠SCA=(MC^2+AC^2-AM^2)/2*AC*MC
解得(a^2)/4+(b^2)/2=x^2,x=AM
代回AN^2=AM^2+MN^2,解得b^2=2*(a^2),in another words,b=√2*a
终于知道了,AB=BC=CA=b=√2*a
我相信下面的你会解,
if 底中心为P,ΔSPC为直角三角形.
SC=a,PC=（√6）/3*a,SP=√3/3*a
S-ABC外接球半径为R=√3/2*a,圆心在形外.
外接球的表面积S=4*π*R^2=3πa^2