三斜求积公式?

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/06 06:13:29

三斜求积公式?
三斜求积公式?

三斜求积公式?
我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”.它与海伦公式基本一样,其实在《九章算术》中,已经有求三角形公式“底乘高的一半”,在实际丈量土地面积时,由于土地的面积并不是的三角形,要找出它来并非易事.所以他们想到了三角形的三条边.如果这样做求三角形的面积也就方便多了.但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积?直到南宋,我国著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”.
  秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜.“术”即方法.三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方,送到中斜平方,取相减后余数的一半,自乘而得一个数,小斜平方乘以大斜平方,送到上面得到的那个.相减后余数被4除,所得的数作为“实”,作1作为“隅”,开平方后即得面积.
  所谓“实”、“隅”指的是,在方程px 2=q,p为“隅”,q为“实”.以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜,所以
  q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2}
  当P=1时,△ 2=q,
  △=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2}
  因式分解得
  △ ^2=1/16[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2]
  =1/16[(c+a) ^2-b ^2][b^ 2-(c-a)^ 2]
  =1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)
  =1/16(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)
  =1/16 [2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)]
  =p(p-a)(p-b)(p-c)
  由此可得:
  S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
  其中p=1/2(a+b+c)
  这与海伦公式完全一致,所以这一公式也被称为“海伦-秦九韶公式”.
  S=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2} .其中c>b>a.
  根据海伦公式,我们可以将其继续推广至四边形的面积运算.如下题:
  已知四边形ABCD为圆的内接四边形,且AB=BC=4,CD=2,DA=6,求四边形ABCD的面积
  这里用海伦公式的推广
  S圆内接四边形= 根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) (其中p为周长一半,a,b,c,d,为4边)
  代入解得s=8√ 3
证明(3)
  在△ABC中∠A、∠B、∠C对应边a、b、c
  O为其内切圆圆心,r为其内切圆半径,p为其半周长
  有tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1
  r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)=r
  ∵r=(p-a)tanA/2=(p-b)tanB/2=(p-c)tanC/2
  ∴ r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)
  =[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tanA/2tanB/2tanC/2
  =ptanA/2tanB/2tanC/2
  =r
  ∴p^2r^2tanA/2tanB/2tanC/2=pr^3
  ∴S^2=p^2r^2=(pr^3)/(tanA/2tanB/2tanC/2)
  =p(p-a)(p-b)(p-c)
  ∴S=√p(p-a)(p-b)(p-c)