已知数列an的前项和为sn,且满足sn+n=2an,证明数列an+1是等比数
已知数列an的前项和为sn,且满足sn+n=2an,证明数列an+1是等比数
已知数列an的前项和为sn,且满足sn+n=2an,证明数列an+1是等比数
已知数列an的前项和为sn,且满足sn+n=2an,证明数列an+1是等比数
证明 由 sn+n=2an 可得 S(n+1)+n+1=2a(n+1) a1=1
两式相减得 S(n+1)-Sn +1=2a(n+1)-2an
即a(n+1)+1=2a(n+1)-2an
a(n+1)=2an+1
a(n+1）+1=2(an+1)
a(n+1)+1/(an+1)=2
数列﹛an+1﹜是公比为2的等比数列
证明：因为，Sn+n=2an,所以，S(n+1) +(n+1) =2a(n+1),前式减后式得：a(n+1）+1 = 2a(n+1)-2a(n),整理得，a(n+1) +1=2（a(n) +1）又因为，S1+ 1=a1 +1 =2a1,所以a1=1, 由此得，数列an +1是以a1 +1 =2为首项，以2为公比的等比数列。
将n换成n+1则有S（n+1）+（n+1）=2a（n+1）
S（n+1）=Sn+a（n+1）且Sn+n=2an
所以2a（n+1）=S（n+1）=Sn+a（n+1）+（n+1）=2an-n+a（n+1）+（n+1）=2a（n+1）
所以2an+1=a（n+1）所以2an+2=a（n+1）+1所以2*（an+1）=a（n+1）+1即【a（n+1）+1】/【an+1】=2=q，...
全部展开
将n换成n+1则有S（n+1）+（n+1）=2a（n+1）
S（n+1）=Sn+a（n+1）且Sn+n=2an
所以2a（n+1）=S（n+1）=Sn+a（n+1）+（n+1）=2an-n+a（n+1）+（n+1）=2a（n+1）
所以2an+1=a（n+1）所以2an+2=a（n+1）+1所以2*（an+1）=a（n+1）+1即【a（n+1）+1】/【an+1】=2=q，所以{an+1}是等比数列。
注：S（n+1）表示前n+1项的和；a（n+1）表示第n+1项的值
收起