椭圆x²+4y²=16被直线y=1/2x+1截得弦长为?

椭圆x²+4y²=16被直线y=1/2x+1截得弦长为?
椭圆x²+4y²=16被直线y=1/2x+1截得弦长为?

椭圆x²+4y²=16被直线y=1/2x+1截得弦长为?
设直线与椭圆的两交点分别为A(x₁,y ₁),B(x₂,y₂)
把y=1/2x+1代入x²+4y²=16
x²+4（1/2x+1)²=16
x²+2x-6=0
由韦达定理得
x₁+x₂=-2 x₁x₂=-6
AB= √(1+k²)[(x₁+x₂)²-4x₁x₂]
=√(1+1/4)×(4+24)
=√35
弦长为 √35

y=x/2+1
代入方程
x^2+4(x/2+1)^2=16
x^2+x^2+4x+4=16
2x^2+4x-12=0
x^2+2x-6=0
x=-1±根号7
所以y=(-1±根号7)/2+1=(1±根号7)/2
所以弦长=根号[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]
=根号{[(-1+根号7)-(-1-根号7)]^2+[(1+根号7)/2-(1-根号7)/2]^2}
=根号(28+7)=根号35
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把直线方程代入椭圆方程得：
x²+4(1/2x+1)²=16
x²+x²+4x+4=16
2x²+4x-12=0
x²+2x-6=0
由韦达定理得
x1+x2=-2，
x1*x2=-6
∴（x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1*x2
=(-2...

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把直线方程代入椭圆方程得：
x²+4(1/2x+1)²=16
x²+x²+4x+4=16
2x²+4x-12=0
x²+2x-6=0
由韦达定理得
x1+x2=-2，
x1*x2=-6
∴（x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1*x2
=(-2)²-4*(-6)
=4+24
=28

∴(y1-y2)²
=[(1/2x1+1)-(1/2x2+1)]²
=[1/2x1-1/2x2]²
=1/4(x1-x2)²
=1/4*28
=7
∴弦长的平方=(x1-x2)²+(y1-y2)²
=28+7
=35
∴弦长=√35

收起

把 y =x/2 +1 代入椭圆方程
化简得 x ^2 + 2x -6 = 0
两根是2个交点的横坐标 -1 - √7 和 -1 +√7
横坐标之差为2√7
直线斜率是 1/2 所以弦长为√(1^2 + 0.5^2) * 2√7 = √35