在三角形ABC中,三边分别是a,b,c,且三角形ABC的面积是（a平方加b平方减c平方）除以4,求角C

在三角形ABC中,三边分别是a,b,c,且三角形ABC的面积是（a平方加b平方减c平方）除以4,求角C
在三角形ABC中,三边分别是a,b,c,且三角形ABC的面积是（a平方加b平方减c平方）除以4,求角C

在三角形ABC中,三边分别是a,b,c,且三角形ABC的面积是（a平方加b平方减c平方）除以4,求角C
第一种情况,
如图,过A点作BC的垂线,D点是垂足.设BD=m,CD=n ,AD=h  则：
根据勾股定理有等式 m^2=(c^2)-(h^2), n^2=(b^2)-(h^2),另外m+n=a.
所以：解上面三个关于m,n,h的方程组得 n=[(a^2)+(b^2)-(c^2)]/2a
即：CD=[(a^2)+(b^2)-(c^2)]/2a
而S△ABC=(1/2)ah=[(a^2)+(b^2)-(c^2)]/4
化简得：h=[(a^2)+(b^2)-(c^2)]/2a
即AD=[(a^2)+(b^2)-(c^2)]/2a
所以：AD=DC
所以：△ADC是等腰直角三角形
所以：∠C=45°
讨论：∠C不可能等于90°,也不等于135°.
当∠C=90°时,
有(a^2)+(b^2)=c^2,
按题中给的条件有S△ABC=[(a^2)+(b^2)-(c^2)]/4=0
所以：不成立.即∠C不是直角,
如果∠C=135°,按上边的求法得CD=[(c^2)-(a^2)-(b^2)]/2a
而由已知得：(a^2)+(b^2)-（c^2)>0
如此推出CD<0
所以：∠C不等于135°.

第一种情况，
如图，过A点作BC的垂线，D点是垂足。设BD=m,CD=n ，AD=h 则：
根据勾股定理有等式 m^2=(c^2)-(h^2), n^2=(b^2)-(h^2),另外m+n=a.
所以：解上面三个关于m,n,h的方程组得 n=[(a^2)+(b^2)-(c^2)]/2a
即：CD=[(a^2)+(b^2)-(c^2)]/2a
而S△ABC=...

全部展开

第一种情况，
如图，过A点作BC的垂线，D点是垂足。设BD=m,CD=n ，AD=h 则：
根据勾股定理有等式 m^2=(c^2)-(h^2), n^2=(b^2)-(h^2),另外m+n=a.
所以：解上面三个关于m,n,h的方程组得 n=[(a^2)+(b^2)-(c^2)]/2a
即：CD=[(a^2)+(b^2)-(c^2)]/2a
而S△ABC=(1/2)ah=[(a^2)+(b^2)-(c^2)]/4
化简得：h=[(a^2)+(b^2)-(c^2)]/2a
即AD=[(a^2)+(b^2)-(c^2)]/2a
所以：AD=DC
所以：△ADC是等腰直角三角形
所以：∠C=45°
讨论：∠C不可能等于90°，也不等于135°。
当∠C=90°时，
有(a^2)+(b^2)=c^2，
按题中给的条件有S△ABC=[(a^2)+(b^2)-(c^2)]/4=0
所以：不成立。即∠C不是直角，
如果∠C=135°，按上边的求法得CD=[(c^2)-(a^2)-(b^2)]/2a
而由已知得：(a^2)+(b^2)-（c^2)>0
如此推出CD<0

收起