甲在A地,乙在B地,相向而行,第一次相遇,甲离B地6米,继续前行.甲到达B地,乙到达A地,返回原路,第二

甲在A地,乙在B地,相向而行,第一次相遇,甲离B地6米,继续前行.甲到达B地,乙到达A地,返回原路,第二
甲在A地,乙在B地,相向而行,第一次相遇,甲离B地6米,继续前行.甲到达B地,乙到达A地,返回原路,第二

甲在A地,乙在B地,相向而行,第一次相遇,甲离B地6米,继续前行.甲到达B地,乙到达A地,返回原路,第二
具有时钟形式的行程问题．综合性较强的行程问题,运动过程中通常包括变速、转向或依据某种规律,解题时要注意发挥图示的辅助作用,并需要恰当选择关键点分 段加以考虑．与设计优化方案相结合的行程问题．
1．有一座时钟现在显示10时整．那么,经过多少分钟,分针与时针第一次重合；再经过 多少分钟,分针与时针第二次重合?
【分析与解】在lO点时,时针所在位置为刻度10,分针所在位置为刻度12；当两针重合时,分针必 须追上50个小刻度,设分针速度为"l",有时针速度为" ",于是需要时间：50÷(1一 )= ．
所以,再过 分钟,时针与分针将第一次重合．
第二次重合时显然为12点整,所以再经过 - 分钟,时针与分针第二次重合．
评 注：标准的时钟,每隔 分钟,时针与分针重合一次． 我们来熟悉一下常见钟表(机械)的构成：
一般时钟的表盘大刻度有12个,即为小 时数；小刻度有60个,即为分钟数．
所以时针一圈需要12小时,分针一圈需要60分钟(1小时),时针的速度为分针速度的 ．如果设分针的速度为单位"l",那么时针的速度为" "．
2．8时到9时之间时针和分针在"8"的两边,并且两针所形成的射线到"8"的距离相等．问这时是8时多少分?
【分析与解】 8点整的时候,时针较分针顺时针方向多40格,设在满足题意时,时针走过x格,那么分针走过40-x格,所以时针、分针共走过x+(40-x)=40格．
于是,所需时间为40÷ = 分钟,即在8点 分钟为题中所求时刻．
3．某人下午六时多外出买东西,出门时看手表,发现表的时针和 分针的夹角为1100,七时前回家时又看手表,发现时针和分针的夹角仍是1100．那么此人外出多少分钟?
【分析与解】 如下示意图,开始分针在时针左边1100位置,后来追至时针右边1100位置．
于是,分针追上了1100+1100=2200,对应 格．
所需时间为 分钟．所以此人外出40分钟．
评注：通过上面的例子,看到有时是将格数除以 ,有时是将格数除以 ,这是因为有时格数是时针、分针共同走过的,对应速度和；有时格数是分针追上时针的,对应速度差．
对于这个问 题,大家还可以将题改为:"在9点多钟出去,9点多钟回来,两次的夹角都是1100",答案还是40分钟．
4．甲、乙两车分别从 A,B两地同时出发相向而行,6小时后相遇在C点．如果甲车速度不变,乙车每小时多行5千米,且两车还从A,B两地同时出发相向而行,则相遇地点距C点 12千米；如果乙车速度不变,甲车每小时多行5千米,且两车还从A,B两地同时出发相向而行,则相遇地点距C点16千米．甲车原来每小时行多少千米?
【分析与解】 方法一：(12+16)÷5=5．6小时,
(千米),420÷6=70(千米)．
甲车原来每小 时走 (千米)．
方法二：设甲、乙两人原来的速度分别为x千米／时,y千米／时,那么AC=6x,BC=6y,
在第二、三次相遇中利用甲、乙两人所用时间相等,可得方程组：
,交叉相乘,解得
即甲原来的速度是每小时30千 米．
方法三：设第一次改变速度,甲、乙相遇在D点,第二次改变速度,甲、乙相遇在E点．
在第二次相遇中,假设走 满6小时,甲走到了C点,乙则走到了F点,FC长：5×6=30(千米),FD长：30-12=18(千米)．
所以乙提速5千米／时 后,甲、乙速度比为DC：DF=12：18=2：3．
同样的,在第三次相遇中,假设走满6小时,乙走到了C点,甲则走到了G点,CG 长：5×6=30(千米),EG长：30-16=14(千米),所以甲提速5千米／时后,甲、乙速度比为EG：CE=14：16=7：8．
设甲原来速度为x千米／小时,乙原来速度为y千米／小时,则
解得 ．即甲原来的速度为每小时30千米．
5. 甲、乙两人同时从山脚开始爬山,到达山顶后就立即下山,他们两人的下山速度都是各自上山速度的1.5倍,而且甲比乙速度快．两人出发后1小时,甲与乙在离 山顶600米处相遇,当乙到达山顶时,甲恰好下到半山腰．那么甲回到出发点共用多少小时?
【分析与解】将上山甲、乙速度分别记为a、 b；则下山时甲、乙速度为1.5a、1.5b．
用h表示山顶到山脚的距离,
由右图知： ,即有4b=3a．
由左图知：即 ;得h=3600米
即山顶到山脚的距离为3600米．
再变回到"甲下山速度是上山速度的1.5 倍"．由1小时后,甲距山脚还有3600-600=3000米知,甲到山脚还需3000÷(4000 1．5)=O.5小时．
所以甲 自出发到回到山脚共用1+0.5=1.5小时．
6．男、女两名田径运动员在长110米的斜坡上练习跑步(坡顶为A,坡底为B．两人同 时从A点出发,在A,B之间不停地往返奔跑．已知男运动员上坡速度是每秒3米,下坡速度是每秒5米,女运动员上坡速度是每秒2米,下坡速度是每秒3米．那 么两人第二次迎面相遇的地点离A点多少米?
【分析与解】开始下山时,男运动员的速度大于女运动员的速度,有男运动员到达坡底B所需时 间为110÷5=22秒,此时女运动员才跑了22×3=66米．
现在女运动员的速度不变,还是每秒3米,而男运动员将从B上坡到A, 速度变为每秒3米．男、女运动员的距离为110-66=44米,所以当男运动员再跑44÷(3+3)×3=22米后男女运动员第一次迎面相遇,相遇点距B 地22米,如下图所示．(本题4图所标注数字均是距坡底B的距离数)
所以当女运动员到达坡底B时,男运动员又跑了22米,即到达距B 地44米的地方,如下图所示．
此后,女运动员从坡底B上坡到A,速度变为每秒2米,男运动员的速度还是每秒3米,所以当男运动员再跑 110-44=66米到达坡顶A时,女运动员才跑了66÷3×2=44米,即距离坡底B地44米的地方,如下图所示．
这时,女运动员 的速度不变还是每秒2米,而男运动员的速度变为每秒5米,男、女运动员相距110-44=66米,所以当男、女运动员第二次相遇时,男运动员又跑了 米,如下图所示．
即第二次相遇的地点距以点 米．
7．某人沿电车线路行走,每12分钟有一辆电车从后面追上,每 4分钟有一辆电车迎面开来．假设两个起点站的发车间隔是相同的,求这个发车间隔．
【分析与解】 设电车的速度为a,行人的速度为b,因为每辆电车之间的距离为定值,设为l．
由电车能在12分钟追上行人l的距离知,； 由电车能在4分钟能与行人共同走过l的距离知, ,所以有l=12(a-b)=4(a+b),有a=2b,即电车的速度是行人步行速度的2倍．
那么l=4(a+b)=6a,则发车间隔上：．
即发车间隔为6分钟．
8．A,B两地相距105千米,甲、乙两 人分别骑车从A,B两地同时相向出发,甲速度为每小时40千米,出发后1小时45分钟相遇,然后甲、乙两人继续沿各自方向往前骑．在他们相遇3分钟后,甲 与迎面骑车而来的丙相遇,而丙在C地追上乙．若甲以每小时20千米的速度,乙以每小时比原速度快2千米的车速,两人同时分别从A,B出发相向而行,则甲、 乙二人在C点相遇,问丙的车速是多少?
【分析与解】 甲以40千米／小时的速度行驶l小时45分钟,行驶了 千米,那么剩下的105-70=35千米为乙在1小时45分钟内行驶的,所以乙的速度为 千米／小时,如下图所示．
又甲、乙再行驶3 分钟,那么甲又行驶了 千米,乙又行驶了 千米．即在甲、乙相遇3分钟后,乙行驶至距B地35+1=36千米的地方,甲行驶至距A地70+2=72千米的地方,此地距B地105-72=33千米, 如下图所示．
而如果甲以20千米／小时的速度,乙的速度增加2千米／小时至22千米／小时,那么相遇点C距B地为： 千米,如下图所示．
那么,当丙与甲相遇在距B地33千米的地方时,乙在距B地36千米的地方,而后丙行驶至C地(距B地55千米) 时,乙也在C地,即相遇．
在这段时间内,乙行驶了55-36=19千米,而丙行驶了55-33=22千米,所以丙的速度为 千米／小时,如下图所示．
9．从甲市到乙市有一条公路,它分成三段．在第一段上,汽车速度是每小时40千米；在第二段上,汽车速度是 每小时90千米；在第三段上,汽车速度是每小时50千米．己知第一段公路的长恰好是第三段的2倍,现有两汽车分别从甲、乙两市同时出发,相向而行,1小时 20分后,在第二段从甲到乙方向的 处相遇．那么,甲、乙两市相距多少千米?
【分析与解】设第一、二、三段公路的长度依次为a、b、 c,有a=2c,如下图所示：
易知当另一汽车到达第二、三段交接点处,即行驶的路程为c时,一汽车行驶的路程为 ,而第一段长度为第三段长度的2倍,所以甲行驶至第一段的处,如下图所示．
所以当另一汽车行驶 路程的时间内,一汽车行驶了 的距离,同时减去 的里程,则另一汽车行驶了 的路程,一汽车行驶了 的路程．
由两汽车行驶的时间相等知 ,即a:b=20：81,如下图所示.
设第一段路程为20k,则第二段路程为81k,第三段路程为lOk；
于 是,一汽车跑至 第二段时,所需时间为 ,解得 而甲乙全程为20k+81k+10k=111k,有．
所以甲、乙两市相距185千 米．
10.甲、乙两人在400米圆形跑道上进行10000米比赛．两人从起点同时同向出发,开始时甲的速度为每秒8米,乙的速度为每 秒6米．当甲每次追上乙以后,甲的速度每秒减少2米,乙的速度每秒减少0.5米．这样下去,直到甲发现乙第一次从后面追上自己开始,两人都把自己的速度每 秒增加O.5米,直到终点．那么领先者到达终点时,另一人距终点多少米?
【分析与解】 对于这道题只能详细的分析逐步推算,以获得解答．
先求出当第一次甲追上乙时的详细情况,因为甲乙同向,所以为追击问题．
甲、乙速度差为8-6=2米／秒,当甲第一次追上乙时,甲应比乙多跑了一圈400米,即甲跑了400÷2×8=1600米,乙跑了 400÷2×6=1200米．
相遇后,甲的速度变为8-2=6米／秒,乙的速度变为6-0.5=5．5米／秒.显然,甲的速度大于 乙,所以仍是甲超过乙．
当甲第二次追上乙前,甲、乙速度差为6-5.5=0.5米／秒,追上乙时,甲应在原基础上再比乙多跑一圈 400米,于是甲又跑了400÷0.5×6=4800米,乙又跑了400÷0.5×5.5=4400米．
甲第二次追上乙后,甲的速度 变为6-2=4米／秒,乙的速度变为5.5-0.5= 5米／秒．显然,现在乙的速度大于甲,所以变为乙超过甲．
当乙追上甲时,甲、 乙速度差为5-4=1米／秒,乙追上甲时,乙应比甲多跑一圈400米,于是甲又跑了400÷1×4=1600米,乙又跑了400÷1×5=2000米．.
这时甲的速度变为4+0.5=4.5米／秒,乙的速度变为5+0.5=5.5米／秒并以这样的速度跑完剩下的全程．
在这过程中甲共 跑了1600+4800+1600=8000米,乙共跑了1200+4400+2000=7600米．
甲还剩下 10000-8000=2000米的路程,乙还剩下10000-7600=2400米的路程．
显然乙先跑完全程,此时甲还剩下 米的路程．
即当领先者到达终点时,另一人距终点 米．
评注：此题考察了我们的分析问题的能力,也考察了我们对追 击这一基本行程问题的熟练程度. 11.龟兔赛跑,全程5.2千米,兔子每小时跑20千米,乌龟每小时跑3千米．乌龟不停地跑；但兔子却边跑边玩,它先跑了1分钟然后玩15分钟,又跑2分 钟然后玩15分钟,再跑3分钟然后玩15分钟,……．那么先到达终点的比后到达终点的快多少分钟?
【分析与解】 乌龟到达终点所需时间为5.2÷3×60=104分钟．
兔子如果不休息,则需要时间5.2÷20×60=15.6分钟．
而兔子休息的规律是跑1、2、3、…分钟后,休息15分钟．
因为15.6=1+2+3+4+5+0.6,所以兔子休息了 5×15=75分钟,即兔子跑到终点所需时间为15．6+75=90．6分钟．
显然,兔子先到达,先乌龟104-90.6=13.4 分钟达到终点．
12．A,B两地相距125千米,甲、乙二人骑自行车分别从A,B两地同时出发,相向而行．丙骑摩托车以每小时63千 米的速度,与甲同时从A出发,在甲、乙二人间来回穿梭(与乙相遇立即返回,与甲相遇也立即返回)．若甲车速度为每小时9千米,且当丙第二次回到甲处时 (甲、丙同时出发的那一次为丙第零次回到甲处),甲、乙二人相距45千米．问：当甲、乙二人相距20千米时,甲与丙相距多少千米?
【分析与解】我们设乙的速度为9x,即甲的x倍．
当乙、丙第一次相遇的时候,设甲走了"1",则乙走了"x",丙走了"7",所以有"7"+"x"=125,于是"1" ,此时甲、丙相距"7"-"1"="6"．
这样丙第一次回到甲时,甲又向前行 ×9= ,丙又行了"6"- ,乙又行了
所以,甲、乙此时相距 千米.
有丙第二次回到甲处的时,125千米的路程相当于百 千米,即甲、乙相距 ,所以 , ,解得 所以乙的速度为 千米／小时．
当第三次甲、丙相遇时,甲、乙相距 千米．
当第四次甲、丙相遇时,甲、乙相距 千米,而题中甲、乙相距20千米,此时应在甲、丙第三次和第四次相遇的某个时刻．
有 千米,而甲、乙的速度比为9：7,所以甲从甲、丙第四次相遇处倒退 千米即可．
又因为丙的速度是甲的7倍,所以丙倒退的路程应为甲的 7倍,于是甲、丙相距 千米
当甲、乙二人相距20千米时,甲与丙相距17.1千米.
评注：甲从A地往B地出发, 乙从B地往C出发,丙从A地开始在甲乙之间来回往返跑动．
当甲丙第1次相遇时所需的时间为t,(甲、丙同时出发时,算第0次相遇)
则甲丙第2次相遇时还所需的时间为
则甲丙第3次相遇时还所需的时间为
则甲丙第n次相遇时还所需的时间为
由此可知,丙在相邻的2次相遇之间所走路程为等比数列.
13．一辆小汽车与一辆大卡车在一段9千米长的狭路上相遇,必须倒车,才能 继续通行．已知小汽车的速度是大卡车速度的3倍,两车倒车的速度是各自速度的 ,小汽车需倒车的路程是大卡车需倒车的路程的4倍．如果小汽车的速度是每小时50千米,那么要通过这段狭路最少用多少小时?
【分析与 解】
如果一辆车在倒车,另一辆的速度一定大于其倒军速度,即一车倒出狭路另一车也驶离狭路,倒车的车可立即通过．
小汽车倒车的路程为 千米,大卡车倒车的路程为 千米．
小汽车倒车的路程为 千米／小时,大卡车倒车的速度为 千米/小时
当小汽车倒车时,倒车需7.2÷10=O.72小时,而行驶过狭路需9÷50=0.18小时,共需0．72 +0．18=0．9小时；
当大卡车倒车时,倒车需 小时,而行驶过狭路需 小时,共0．54+0．54=1．08／小时．
显然当小轿车倒车时所需时间最少, 需0.9小时．
14.在一个沙漠地带,汽车每天行驶200千米,每辆汽车载运可行驶24天的汽油．现有甲、乙两辆汽车同时从某地出 发,并在完成任务后,沿原路返回．为了让甲车尽可能开出更远的距离,乙车在行驶一段路程后,仅留下自己返回出发地的汽油,将其他的油给甲车．求甲车所能开 行的最远距离．
【分析与解】
甲车尽可能行驶更远,则乙车离开甲车时,应保证甲车还有可行驶24天的汽油．
设此时乙车已行驶了x天,有甲也行驶了x天,乙返程也需要x天,有x+x+x+24=48,所以x=8,即乙车行驶8天后返程．
留 下还可行驶8天的汽油,将剩下的24-8-8=8天的汽车给甲车．
所以加上开始的24天的汽油,甲车共得到24+8=32天的汽油． 那么甲车单程最多可行驶32÷2=16天．
即甲车所能开行的最远距离为16×200=3200千米．
15．甲、 乙两班学生到离校24千米的飞机场参观,但只有一辆汽车,一次只能乘坐一个班的学生．为了尽快到达飞机场,两个班商定,由甲班先坐车,乙班先步行,同时出 发,甲班学生在途中某地下车后步行去飞机场,汽车则从某地立即返回接在途中步行的乙班学生．如果甲、乙两班学生步行速度相同,汽车速度是他们步行速度的7 倍,那么汽车应在距飞机场多少千米处返回接乙班学生,才能使两班同时到达飞机场?
【分析与解】 设学生步行时速度为"1",那么汽车的速度为"7",有如下示意图．
我们让甲班先乘车,那么当乙班步行至距学校l处,甲班已乘车至距 学校7l处．此时甲班下车步行,汽车往回行驶接乙班,汽车、乙班将相遇．
汽车、乙班的距离为7l-l=6l,两者的速度和为 7+1=8,所需时间为6l÷8=0.75l,这段时间乙班学生又步行0.75l的路程,所以乙班学生共步行l+0.75l=1.75l后乘车而行．
应要求甲、乙班同时出发、同时到达,且甲、乙两班步行的速度相等,所以甲班也应在步行1.75l路程后达到飞机场,有甲班经过的全程为 7l+1.75l=8.75 l,应为全程．
所以有7l=24÷8.75×7=19.2千米,即在距学校19.2千米的地方甲班学生 下车步行,此地距飞机场24-19.2=4.8千米．
即汽车应在距飞机场4.8千米的地方返回接乙班学生,才能使两班同时到达飞机 场．