三角函数题三角形ABC中 内角A B C的对边长分别是a b c 已知a^2 - c^2 =2b 且 sinAcosC=3cosAsinC 求b
三角函数题三角形ABC中 内角A B C的对边长分别是a b c 已知a^2 - c^2 =2b 且 sinAcosC=3cosAsinC 求b
三角函数题
三角形ABC中 内角A B C的对边长分别是a b c 已知a^2 - c^2 =2b 且 sinAcosC=3cosAsinC 求b
三角函数题三角形ABC中 内角A B C的对边长分别是a b c 已知a^2 - c^2 =2b 且 sinAcosC=3cosAsinC 求b
根据正弦定理,a,c与sinA,sinC成正比,a/sinA=c/sinc
sinAcosC=3cosAsinC
所以a*cosC=3cosA*c
根据余弦定理,cosC=（a^2+b^2-c^2）/2ab,cosA=（c^2+b^2-a^2）/2bc,
所以a*cosC=（a^2+b^2-c^2）/2b,3cosA*c=3（c^2+b^2-a^2）/2b,
因为a*cosC=3cosA*c,所以a^2+b^2-c^2=3（c^2+b^2-a^2）,因为a^2-c^2=2b,
所以b^2+2b=3（b^2-2b）,即b^2-4b=0,因为b为三角形ABC边长,所以b不等于0
所以b=4
sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinC
sin(A+C)=4cosAsinC
sin(180-B)=sinB=4cosAsinC
sinB/sinC=4cosA
由正弦定理和余弦定理
sinB/sinC=b/c=4cosA=4(b^2+c^2-a^2)/2bc
b^2=2b^2+2c^2-2a^2
b^2-2(a^2-c^2)=0
b^2-4b=0
b≠0
b=4
sinC/sinA=c/a，cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc，cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab，代入得b=4或0（舍去），因此b=4。