高中数学题一道（填空）
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/03 03:38:42
高中数学题一道（填空）
高中数学题一道（填空）
高中数学题一道（填空）
已知数列{a‹n›}的前n项和为S‹n›,且a₁=1,S‹n›=na‹n›-2n(n-1)；设数列{1/(a‹n›a‹n+1›}的前n项和为T‹n›,则T‹n›的取值范围为——
a₁=1；当n≧2时,
a‹n›=S‹n›-S‹n-1›=na‹n›-2n(n-1)-[(n-1)a‹n-1›-2(n-1)(n-2)]=n(a‹n›-a‹n-1›)+a‹n-1›-4(n-1),
a‹n›-a‹n-1›=n(a‹n›-a‹n-1›)-4(n-1),故得a‹n›-a‹n-1›=4；即{a‹n›}是一个首项为1,公差d=4
的等差数列.于是得a‹n›=1+4(n-1)=4n-3(n=1,2,3,.)
a‹n›a‹n+1›=(4n-3)[4(n+1)-3]=(4n-3)(4n+1)
设b‹n›=1/a‹n›a‹n+1›=1/(4n-3)(4n+1)=(1/4)[1/(4n-3)-1/(4n+1)]
其前n项和T‹n›=(1/4){(1-1/5)+(1/5-1/9)+(1/9-1/13)+.+[1/(4n-3)-1/(4n+1)]}
=(1/4)[1-1/(4n+1)]；T‹n›是关于n的单调递增的函数；当n=1时T₁=1/5；当n→+∞是T‹n›→1/4；
故1/5≦T‹n›
[1/5,1/4) an为1为首项，4为公差的等差数列 求出Tn=1/4 - 1/(4 (1 + 4 n)) 为一单调增函数：n=1时，最小值1/5，最大值为n趋向于∞时取1/4