三角形内费马点到三个顶点的距离和与三边有什么关系?请用A,B,C代表三边,分类讨论(注意内角不一定比120度小).

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/09 10:02:56

三角形内费马点到三个顶点的距离和与三边有什么关系?请用A,B,C代表三边,分类讨论(注意内角不一定比120度小).
三角形内费马点到三个顶点的距离和与三边有什么关系?
请用A,B,C代表三边,分类讨论(注意内角不一定比120度小).

三角形内费马点到三个顶点的距离和与三边有什么关系?请用A,B,C代表三边,分类讨论(注意内角不一定比120度小).
我们更习惯用a,b,c来表示三角形三条边,A,B,C表示三角形的三个内角
设费马点P,分情况讨论:
1.A≥120度时,P=A,PA+PB+PC=AB+AC=b+c
2.B≥120度时,P=B,PA+PB+PC=AB+BC=a+c
3.C≥120度时,P=C,PA+PB+PC=BC+AC=a+b
4.A,B,C均小于120度时
设PA=x,PB=y,PC=z,∠APB=∠BPC=∠CPA=120度
那么由余弦定理
x^2+y^2+xy=c^2
y^2+z^2+yz=a^2
z^2+x^2+xz=b^2
三式相加
(x+y+z)^2=(a^2+b^2+c^2+3(xy+yz+zx))/2 .(1)
由正弦定理
√3xy/4=S⊿PAB
√3yz/4=S⊿PBC
√3zx/4=S⊿PAC
三式相加
xy+yz+zx=4S⊿ABC/√3 ...(2)
由海伦公式
S⊿ABC=√[(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)]/4 ...(3)
由(1),(2),(3),解得
PA+PB+PC=√{(a^2+b^2+c^2+√[3(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)])/2}
这就是要求的表达式

平面内一点P到△ABC三顶点的之和为PA+PB+PC，当点P为费马点时，距离之和最小。

三角形内费马点到三个顶点的距离和与三边有什么关系?请用A,B,C代表三边,分类讨论(注意内角不一定比120度小). 三角形的三个角平分线的交点到三个顶点的距离相等和三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等,这两种说法对不对三角形三边垂直平分线交点到三个顶点距离相等（证明,最好有图证三角形三边的垂直平分线交的点到三个顶点的距离相等求证任意三角形内任意一点到三个顶点的距离之和小于三边之和三角形内一点到三顶点的距离和小于该三角形的三边之和. 怎样找在三角形内且与三个顶点的距离和最短的点三角形三边的垂直平分线相交于一点,这个点到三角形三个顶点的距离相等吗 1：三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点距离相等.2：三角形三边垂直平分线的交点到三角形三边的距离相等.请问1,2哪个对?给对的那个给予证明. 证明九点圆求证：三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点（连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点）九点共圆三角形中到三边和三点距离相等的点是?①三角形中到三边距离相等的点是?②三角形中到三个顶点距离相等的点是?急!考试要用就是A三边垂直平分线的交点 B三条高的交点 C三条中线和三角形三个顶点的距离相等的点是（）A.三条角平分线的交点B.三边中线的交点C.三边上高所在直线的交点...和三角形三个顶点的距离相等的点是（）A.三条角平分线的交点B.三边中线的交点怎么证明三角形的内心到三边的距离相等?又怎么证明三角形的外心到三个顶点的距离相等? 关于三角形作图怎样做出一个点使点到三边距离相等做一个点使其到三角形三个顶点的距离相等三角形内一点到该三角形三个顶点距离的和最小的点为什么叫费马点以三角形的三个顶点及三边中点为顶点的平行四边形共有（ )个三角形三个顶点在平面a的同一侧,三个顶点到平面的距离和为30,求这个三角形的重心到平面a的距离到三角形三个顶点距离相等的点是?a.三条高的交点 b.三条角平分线交点 c.三条中线交点 d.三边垂直平分线交点