设n为任意整数,试证:n(n+1)(2n+1)一定是6的倍数
设n为任意整数,试证:n(n+1)(2n+1)一定是6的倍数
设n为任意整数,试证:n(n+1)(2n+1)一定是6的倍数
设n为任意整数,试证:n(n+1)(2n+1)一定是6的倍数
一种解法
n和n+1有一个是偶数
所以n(n+1)(2n+1)能被2整除
若n能被3整除,则n(n+1)(2n+1)能被3整除
若n除3余数是2,则n+1除3余数是3,即能整除
若n除3余数是1,3k+1,则2n+1=6k+2+1=6k+3能被3整除
所以能被3整除
2和3互质,所以能被3整除能被2*3=6整除
二种解法
n除以3的余数只有3个可能:0,1,2.
可以把n分3类:3k,3k+1,3k+2
k表示整数
1.n=3k
显然n(n+1)(2n+1)能被3整除
2.n=3k+1
2n+1=2(3k+1)+1=6k+3=3(2k+1),能被3整除
显然n(n+1)(2n+1)能被3整除
3.n=3k+2
n+1=3k+3能被3整除
显然n(n+1)(2n+1)能被3整除
上面那位 df贝吉特 所说的两种方法其实本质上是一种方法，也容易理解。下面我说一下用数学归纳法求证。
证明：
1.当n=0时，n(n+1)(2n+1)=0，当n=1时，n(n+1)(2n+1)＝6,
显然在n=0和n=1时，命题成立。
2.假设n＝k（k>1,且k为整数）时，命题成立，则有
k(k+1)(2k+1)是6的倍数。
当n=k+1时，
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上面那位 df贝吉特 所说的两种方法其实本质上是一种方法，也容易理解。下面我说一下用数学归纳法求证。
证明：
1.当n=0时，n(n+1)(2n+1)=0，当n=1时，n(n+1)(2n+1)＝6,
显然在n=0和n=1时，命题成立。
2.假设n＝k（k>1,且k为整数）时，命题成立，则有
k(k+1)(2k+1)是6的倍数。
当n=k+1时，
n(n+1)(2n+1)
＝(k+1)(k+2)(2k+3)
=……
=k(k+1)(2k+1)+6(k+1)(k+1)
（请自己展开式子作变形，可得上式）
因为k(k+1)(2k+1)是6的倍数（由假设），而6(k+1)(k+1)也是6的倍数，所以上式明显是6的倍数，即n=k+1时，命题也成立。
3.由1和2,可知对任意正整数，原命题是成立的。
又，当n是负整数时，正好是对应正整数的-1倍，所以有
对任意整数n，n(n+1)(2n+1)恒为6的倍数。
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