解决下列各题求n=3×7×11×15×19×...×2003的末三位数
解决下列各题求n=3×7×11×15×19×...×2003的末三位数
解决下列各题
求n=3×7×11×15×19×...×2003的末三位数
解决下列各题求n=3×7×11×15×19×...×2003的末三位数
只想到一个比较笨的方法：
这些数除了2003,一共有500个数,可以分成5个一组,
3×7×11×15×19
23×27×31×35×39
.
一共有100组数,这些数个位数都是3,7,1,5,9,
显然每组乘积的个位数都是5,但是十位数不定.
可以统一表示为：
(20n-17)(20n-13)(20n-9)(20n-5)(20n-1)
=-9945+287780n-2052000n^2+5840000n^3-7200000n^4+3200000n^5
其中n=1,2,...,100
因为我们只要求末三位数,故只保留末三位数非零的数,可得：
(20n-17)(20n-13)(20n-9)(20n-5)(20n-1)≈-945+780n
＝55-1000+(1000-220)n≈55-220n
设f(n)=55-220n,则连着的两组数乘积为：
f(n)×f(n+1)
=-9075+24200n+48400n^2
≈-75+200n+400n^2≈-75+200m（因为400的倍数也是200的倍数）
设g(m)=-75+200m,则对于任意的m,n有：
g(n)×g(m)
=5625-15000m-15000n+40000mn
≈625
而625×625×...×625=.625≈625,
即末三位数是625的话乘积的末三位数仍然是625,
故3×7×11×15×19×…×2003共有501个数,
除去2003,共有500个,100组,
即有100个f(n),或50个g(m),可组成25对,
每一对乘积的末三位数都是625,故25对相乘后末三位数还是625,
故前面500个数的乘积
3×7×11×15×19×…×1999的末三位数是625,
与2003相乘末三位数是875.