作业帮若对x,y∈【1,2】,xy=2,总有不等式2-x≥a/（4-y）成立,则实数a的取值范围是
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/06 06:39:32
若对x,y∈【1,2】,xy=2,总有不等式2-x≥a/（4-y）成立,则实数a的取值范围是
若对x,y∈【1,2】,xy=2,总有不等式2-x≥a/（4-y）成立,则实数a的取值范围是
若对x,y∈【1,2】,xy=2,总有不等式2-x≥a/（4-y）成立,则实数a的取值范围是
先根据均值不等式求得：（2-x）（4-y）的最大值,要使不等式 a-x≥a/(4-y)恒成立,需（2-x）（4-y）≥a恒成立．答案可得．
∵（2-x）（4-y）=8+xy-4x-2y=10-4x-2y≤10-2
√﹙4x*2y﹚=2
∴要使不等式 a-x≥a/(4-y) 恒成立,
需（2-x）（4-y）≥a恒成立．
a≤2
故答案为a≤2
a≤(2-x)(4-y)=10-2(2x+y),只需求10-2(2x+y)的最小值，所以只需求2x+y的最大值。
2x+y=2x+2/x=2(x+1/x)
(x+1/x)'=1-1/x^2在x∈【1，2】时大于零，所以2(x+1/x)递增，所以2x+y在x=2时取得最小值5.
所以a≤0.（之前忘记把5带入了,嘻嘻不好意思）
那位说求（2-x）（4-y）的最大值是错...
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a≤(2-x)(4-y)=10-2(2x+y),只需求10-2(2x+y)的最小值，所以只需求2x+y的最大值。
2x+y=2x+2/x=2(x+1/x)
(x+1/x)'=1-1/x^2在x∈【1，2】时大于零，所以2(x+1/x)递增，所以2x+y在x=2时取得最小值5.
所以a≤0.（之前忘记把5带入了,嘻嘻不好意思）
那位说求（2-x）（4-y）的最大值是错误的，只有a比它最小值还小了不等式才能成立的。
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2-x≥a/（4-y）即a≤(2-x)(4-y)恒成立，只需a≤(2-x)(4-y)的最小值
而(2-x)(4-y)=8-4x-2y+xy
=8-(4x+2y)+2
=10-(4x+2y)
=10-(4x+4/x)
令f(x)= 10-(4x+4/x) ...
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2-x≥a/（4-y）即a≤(2-x)(4-y)恒成立，只需a≤(2-x)(4-y)的最小值
而(2-x)(4-y)=8-4x-2y+xy
=8-(4x+2y)+2
=10-(4x+2y)
=10-(4x+4/x)
令f(x)= 10-(4x+4/x) x ∈【1，2】
则导数f'(x)=-(4-4/x²) =4(1-x²)/x²≤0
故f(x)在x ∈【1，2】是减函数
所以当x=2时取最小值0
即(2-x)(4-y)的最小值为0
所以a≤0
收起
三个的答案竟然都不一样，你叫我用哪一个呢？
由题意得：a≤（2-x）（4-y）恒成立 所以要求，（2-x）（4-y）的最小值
（2-x）（4-y）=8-2y-4x+xy=10-2（2x+y）
因为xy=2,所以2x+y=2x+2/x=2（x+1/x）∈【4,5】所以 要求（2-x）（4-y）的最小值，就是当2x+y取最大值的时候 所以 a≤0