高二抛物线题直线l交抛物线y^2=2px(p>0)于P1P2两点,交x轴的正半轴于点Q,过P1P2分别作x轴的垂线,垂足为MN,求证：OQ是OM和ON的等比中项

高二抛物线题直线l交抛物线y^2=2px(p>0)于P1P2两点,交x轴的正半轴于点Q,过P1P2分别作x轴的垂线,垂足为MN,求证：OQ是OM和ON的等比中项
高二抛物线题
直线l交抛物线y^2=2px(p>0)于P1P2两点,交x轴的正半轴于点Q,过P1P2分别作x轴的垂线,垂足为MN,求证：OQ是OM和ON的等比中项

高二抛物线题直线l交抛物线y^2=2px(p>0)于P1P2两点,交x轴的正半轴于点Q,过P1P2分别作x轴的垂线,垂足为MN,求证：OQ是OM和ON的等比中项
设直线l方程为：y=kx+b,
当k=0时,M、O、N三点重合,符合要求.
当k≠0,
Q点为（-b/k,0）
M(x1,0),N(x2,0)
则x1,x2是方程组
y=kx+b
y^2=2px
的解.于是有
k^2x^2+(2kb-2p)x+b^2=0
所以x1*x2=b^2/k^2
又OQ=-b/k
所以OQ^2=OM*ON
即OQ是OM和ON的等比中项

解，设直线l方程为：y=kx+b，
∴带入抛物线方程得：k^2x^2+(2kb-2p)x+b^2=0
∴OM×ON=|x1x2|=c/a=b^2/k^2
∵直线L交x轴的正半轴于点Q
∴Q(-b/k,o)，∴OQ^2=b^2/k^2
∴OQ^2=OM×ON

设直线l:x=my+n,且P1(x1,y1) P2(x2,y2)由题意的Q（n,0)
OQ=n,OP1=x1,OP2=x2

x=my+n
y^2=2px 联立方程的（消去y)整理的x^2-(2n-2pm^2)x+n^2=0
x1*x2=n^2
OP1*OP2=x1*x2=n^2=(OQ)^2