作业帮函数f(x)在R内可导,且f'(0)=2,对任意x,y∈R,若f(x+y)=f(x)f(y)成立,则f(0)=这题跟导数有关系么不用导数做出正确答案,用了反而不正确PS答案为1为什么不能用f'(x+y)=[f(x)f(y)]'这样算出来就是2
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/08 18:49:48
函数f(x)在R内可导,且f'(0)=2,对任意x,y∈R,若f(x+y)=f(x)f(y)成立,则f(0)=这题跟导数有关系么不用导数做出正确答案,用了反而不正确PS答案为1为什么不能用f'(x+y)=[f(x)f(y)]'这样算出来就是2
函数f(x)在R内可导,且f'(0)=2,对任意x,y∈R,若f(x+y)=f(x)f(y)成立,则f(0)=
这题跟导数有关系么
不用导数做出正确答案,用了反而不正确
PS答案为1
为什么不能用f'(x+y)=[f(x)f(y)]'
这样算出来就是2
函数f(x)在R内可导,且f'(0)=2,对任意x,y∈R,若f(x+y)=f(x)f(y)成立,则f(0)=这题跟导数有关系么不用导数做出正确答案,用了反而不正确PS答案为1为什么不能用f'(x+y)=[f(x)f(y)]'这样算出来就是2
f(x+y)=f(x)f(y)
令x=y=0,得f(0)=(f(0))^2,
f(0)=0或f(0)=1,
若f(0)=0,则对任何x,f(x+0)=f(x)f(0),
f(x)≡0,不满足f'(0)=2,
所以,f(0)=1.
函数f(x)在R内可导,所以f(x)在R内连续,
对任意x,y∈R,若f(x+y)=f(x)f(y)成立,则f(x)≡0或f(x)=a^x,
若f(x)≡0,不满足f'(0)=2,
若f(x)=a^x,f'(0)=lna=2,a=e^2,f(x)=e^(2x),
f(0)=1.
后一种方法是完全严格的,前一种方法实际上只证明了,如果满足条件的函数存在,那么一定有f(0)=1,但是没有证明满足条件的函数一定存在.
问题补充：为什么不能用f'(x+y)=[f(x)f(y)]'
如果把x看成自变量,y看成常量,求导结果是f'(x+y)=f'(x)f(y),
如果把y看成自变量,x看成常量,求导结果是f'(x+y)=f(x)f'(y),
结果也都是f(0)=1.
明白?