椭圆x^2/a^2 + y^2/b^2 =1 (a>b>0),的右焦点为F,离心率为1\2,过F作直线L,交椭圆于A,B两点,P为线段的中点,O为坐标原点,当△POF的面积最大值为8分之根号3时,求椭圆方程和直线L的方程.

椭圆x^2/a^2 + y^2/b^2 =1 (a>b>0),的右焦点为F,离心率为1\2,过F作直线L,交椭圆于A,B两点,P为线段的中点,O为坐标原点,当△POF的面积最大值为8分之根号3时,求椭圆方程和直线L的方程.
椭圆x^2/a^2 + y^2/b^2 =1 (a>b>0),的右焦点为F,离心率为1\2,过F作直线L,交椭圆于A,B两点,P为线段的中点,O为坐标原点,当△POF的面积最大值为8分之根号3时,求椭圆方程和直线L的方程.

椭圆x^2/a^2 + y^2/b^2 =1 (a>b>0),的右焦点为F,离心率为1\2,过F作直线L,交椭圆于A,B两点,P为线段的中点,O为坐标原点,当△POF的面积最大值为8分之根号3时,求椭圆方程和直线L的方程.
设L为x=ty+c(当然也可设为y=k(x-c)),由题意e=c/a=1/2,于是a=2c,b^2=3c^2
椭圆方程为:3x^2+4y^2=12c^2,把直线方程代入整理：
(3t^2+4)y^2+6tcy-9c^2=0
∴y1+y2=-6tc/(3t^2+4)
考虑到对称性不妨设t＞0
S△POF=1/2*│OF│*│(y1+y2)/2│
=1/2*c*6tc/(3t^2+4)
=3c^2[t/(3t^2+4)]
=3c^2[1/(3t+4/t)]
≤3c^2[1/(2√12)] (等号当且仅当3t=4/t时成立)
=√3c^2/4
于是:√3c^2/4=√3/8,c=√2/2,a^2=2,b^2=3/2
椭圆为：x^2/2+y^2/(3/2)=1
此时：t=2√3/3
直线L:x=2√3y/3+√2/2
考虑到对称性,x=-2√3y/3+√2/2也符合要求.

设直线L的斜率为k，因为L过点F(c，0)，所以L的直线方程为
y=kx-kc
将直线L与椭圆方程联立消x，整理得
(a²k²+b²)y²+2b²cky+k²b² (c²-a²)=0
设A、B、P的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2) 、(xo，yo)，对上面的方程由韦达定...

全部展开

设直线L的斜率为k，因为L过点F(c，0)，所以L的直线方程为
y=kx-kc
将直线L与椭圆方程联立消x，整理得
(a²k²+b²)y²+2b²cky+k²b² (c²-a²)=0
设A、B、P的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2) 、(xo，yo)，对上面的方程由韦达定理得
y1+y2= -2b²ck/(a²k²+b²)
所以yo=(y1+y2)/2=[ -2b²ck/(a²k²+b²)]/2= -b²ck/(a²k²+b²)
所以S△POF
=0.5*|OF|*|yo|
=0.5*c*| -b²ck/(a²k²+b²)|
=0.5b²c²|k|/(a²k²+b²)
=0.5b²c²/(a²|k|+b²/|k|)
≤0.5b²c²/[2√(a²|k|*b²/|k|)]
=0.5b²c²/[2√(a²b²)]
=bc²/(4a)
当a²|k|=b²/|k|，即|k|=b/ a时取得等号。
依题意有：
c/a=1/2 (离心率为1/2)
a²=b² + c² (椭圆的性质)
bc²/(4a)=√3/8
|k|=b/ a
上面四个方程联立解得
a=2、 b=√3、 c=1、 k=±√3/2
进而求得椭圆方程为：x²/4 + y²/3 =1
直线L的方程为：y=(±√3/2)(x-1)

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