已知b+c/a=c+a/b=a+b/c 求b+c/a 的值

已知b+c/a=c+a/b=a+b/c 求b+c/a 的值
已知b+c/a=c+a/b=a+b/c 求b+c/a 的值

已知b+c/a=c+a/b=a+b/c 求b+c/a 的值
令(b+c)/a=(c+a)/b=(a+b)/c=k
则(b+c)=ak,(c+a)=bk,(a+b)=ck
三式相加：(b+c)+(c+a)+(a+b)=ak+bk+ck
2(a+b+c)=k（a+b+c)
(a+b+c)(k-2)=0
a+b+c=0,或k-2=0
b+c=-a,或k=2
∴(b+c)/a=-a/a=-1,或(b+c)/a=k=2

先设 b+c/a=c+a/b=a+b/c=K
所以 b+c=aK¨¨(1式)
c+a=bK¨¨(2)
a+b=cK¨¨(3)
然后 (1)+(2)+(3)
即：（b+c）+（c+a）+（a+b）=K(a+b+c)
2（a+b+c)=K（a+b+c)
K（a+b+c)-2（a+b+c)=0
（K-2)（a+b+c）=0
解得 K=2 或a+b+c=0
当K=2时 ，b+c/a=k=2

解得a=b=c=1
b+c/a=2

〔1〕：a b c＝0时，原式＝-1。〔2〕：a b c≠0时，根据等比定律得，原式＝(b c a c a b)/(a b c)＝2