求曲线y=x^2+3x+1在点P(1,5)处切线的斜率以及切线的方程正确答案是k=5,y=5x 求详解

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/09 03:01:29

求曲线y=x^2+3x+1在点P(1,5)处切线的斜率以及切线的方程正确答案是k=5,y=5x 求详解
求曲线y=x^2+3x+1在点P(1,5)处切线的斜率以及切线的方程
正确答案是k=5,y=5x 求详解

求曲线y=x^2+3x+1在点P(1,5)处切线的斜率以及切线的方程正确答案是k=5,y=5x 求详解
y=f(x)=x^2+3x+1
f'(x)=2x+3
f'(1)=2+3=5
f(1)=1+3+1=5
f(x)在x=1处的切线斜率为5,且切线过点（1,5）
切线方程为y-5=5(x-1)
整理得y=5x

直接求出任意一点处的导数，然后代入点P的坐标，得出斜率，然后切线过P，列出方程再次带入直线方程中去，就可以得到答案了

y=x^2+3x+1
求导，y'=2x+3
∴ x=1时，y'=5
即切线的斜率是5
切点为（1,5）
∴ 切线方程为 y-5=5(x-1)
即切线方程为 y=5x

令在点P(1,5)处切线的斜率k以及切线的方程 y=kx+b，将x=1，y=5代入得b=5-k，故：y=kx+5-k，
代入：y=x^2+3x+1得：x^2+（3-k）x+（k-4）=0
△=（3-k）² -4（k-4）=0，k=5
y=kx+5-k=5x，即y=5x
故：曲线y=x^2+3x+1在点P(1,5)处切线的斜率5以及切线的方程y=5x

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