求证：关于x的方程x²+2ax+b=0有实数根,且两根均小于2的充分不必要条件是a≥2且b的绝对值≤4

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/07 23:45:16

求证：关于x的方程x²+2ax+b=0有实数根,且两根均小于2的充分不必要条件是a≥2且b的绝对值≤4
求证：关于x的方程x²+2ax+b=0有实数根,且两根均小于2的充分不必要条件是a≥2且b的绝对值≤4

求证：关于x的方程x²+2ax+b=0有实数根,且两根均小于2的充分不必要条件是a≥2且b的绝对值≤4
求证：关于x的方程x2+2ax+b=0有实数根,且两根均小于2的充分不必要条件是a≥2且b的绝对值≤4
证明：充分性
若a≥2且|b|≤4
4a^2>=16,-16=0==>4a^2>=4b==>a^2>=b
显然当若x>=2时,b=2也不一定成立
综上：∴a≥2且|b|≤4是方程x2+2ax+b=0有实数根成立的充分不必要条件.

①若a≥2且b的绝对值≤4，
a²≥4≥|b|.
则△=4a²-4b=4(a²-b)≥0，方程一定有实根，
且其两根为(-2a±√[4(a²-b)])/2=-a±√(a²-b),
-a-√(a²-b)<0<2,
-a+√(a²-b)≤-a+√(a²+4)< -a+√(a²...

全部展开

①若a≥2且b的绝对值≤4，
a²≥4≥|b|.
则△=4a²-4b=4(a²-b)≥0，方程一定有实根，
且其两根为(-2a±√[4(a²-b)])/2=-a±√(a²-b),
-a-√(a²-b)<0<2,
-a+√(a²-b)≤-a+√(a²+4)< -a+√(a²+4a+4)=-a+(a+2)=2,
所以此时方程有实数根，且两根均小于2。
②方程x²+5x-6=0有实数根，且两根为1，-6，都小于2，
但此时|b|=6>4.
综合①②知：关于x的方程x²+2ax+b=0有实数根，且两根均小于2的充分不必要条件是a≥2且|b|≤4。

收起

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