已知正三棱柱ABC A1B1C1的棱长均是4,E是BC的中点,动点F在侧棱CC1上,且不CC1重合,若当CF等于1求EF垂直A1C

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/05 14:41:36

已知正三棱柱ABC A1B1C1的棱长均是4,E是BC的中点,动点F在侧棱CC1上,且不CC1重合,若当CF等于1求EF垂直A1C
已知正三棱柱ABC A1B1C1的棱长均是4,E是BC的中点,动点F在侧棱CC1上,且不CC1重合,若当CF等于1求EF
垂直A1C

已知正三棱柱ABC A1B1C1的棱长均是4,E是BC的中点,动点F在侧棱CC1上,且不CC1重合,若当CF等于1求EF垂直A1C
过E做EE1⊥B1C1于E1(因为不知道A在上面还是A1在上面,故我任取一个,这里的是A1在上面)
以E为坐标原点,EA为x正半轴,EC为y正半轴,EE1为z正半轴建立空间直角坐标系.
A1(2根号3,0,4),C(0,2,0),F(0,2,1),EF向量=(0,2,1),A1C向量=(-2根号3,2,-4)
EF向量点乘 A1C向量=(0+4-4)/(根号5 乘4根号2)=0,所以EF向量点乘A1C向量=0
所以EF⊥A1C

证明：
设G为B1C1的中点，连接A1G、GC
在正方形BCC1B1中：
EC/CF=CC1/CG=1/2，且∠BCC1=∠CC1B1=90°
所以△ECF∽△CC1G
则∠FEC+∠GCE=90°
即CG⊥EF
又因三棱柱ABC A1B1C1为正三棱柱
易得A1G⊥底面BCC1B1
又EF属于底面BCC1B1
即A1...

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证明：
设G为B1C1的中点，连接A1G、GC
在正方形BCC1B1中：
EC/CF=CC1/CG=1/2，且∠BCC1=∠CC1B1=90°
所以△ECF∽△CC1G
则∠FEC+∠GCE=90°
即CG⊥EF
又因三棱柱ABC A1B1C1为正三棱柱
易得A1G⊥底面BCC1B1
又EF属于底面BCC1B1
即A1G⊥EF
所以EF垂直A1G、GC所构成的平面A1GC
而A1C在平面A1GC中，
所以A1C⊥EF
证毕。

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