如图所示,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E是CD的中点,O为AE的中点,以AE为折痕将△ADE向上折起,使D到P点位置,且PC=PB,F是BP的中点．（Ⅰ）求证：CF∥面APE；（Ⅱ）求证：PO⊥面ABCE.求二面角E-AP-B的余弦值

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/08 11:02:25

如图所示,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E是CD的中点,O为AE的中点,以AE为折痕将△ADE向上折起,使D到P点位置,且PC=PB,F是BP的中点．（Ⅰ）求证：CF∥面APE；（Ⅱ）求证：PO⊥面ABCE.求二面角E-AP-B的余弦值
如图所示,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E是CD的中点,O为AE的中点,以AE为折痕将△ADE向
上折起,使D到P点位置,且PC=PB,F是BP的中点．
（Ⅰ）求证：CF∥面APE；
（Ⅱ）求证：PO⊥面ABCE.

求二面角E-AP-B的余弦值

如图所示,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E是CD的中点,O为AE的中点,以AE为折痕将△ADE向上折起,使D到P点位置,且PC=PB,F是BP的中点．（Ⅰ）求证：CF∥面APE；（Ⅱ）求证：PO⊥面ABCE.求二面角E-AP-B的余弦值
（Ⅰ）欲证CF∥面APE,而FC⊂平面FGC,可先证平面APE∥平面FGC,取AB中点G,连接GF,GC,易证四边形AECG为平行四边形,则AE∥GC,而GF∥AP,GF∩GC=G,AE∩AP=A,满足面面平行的判定定理所需条件；
（Ⅱ）欲证PO⊥面ABCE,根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证PO与面ABCE内两相交直线垂直,取BC的中点H,连OH,PH,根据线面垂直的判定定理可知BC⊥面POH,则BC⊥PO,而PO⊥AE,又BC与AE相交满足定理条件．

（Ⅰ）取AB中点G,连接GF,GC,∵EC∥AG,EC=AG,∴四边形AECG为平行四边形,∴AE∥GC
在△ABP中,GF∥AP
又GF∩GC=G,AE∩AP=A
所以平面APE∥平面FGC
又FC⊂平面FGC
所以,CF∥面APE
（Ⅱ）PA=PE,OA=OE ∴PO⊥AE
取BC的中点H,连OH,PH,
∴OH∥AB,∴OH⊥BC
因为PB=PC∴BC⊥PH,
同时易知BC⊥OH,PH∩OH=H,所以BC⊥面POH
从而BC⊥PO
又AB和CE平行且不相等,∴BC与AE相交,
∴PO⊥面ABCE

1、取AP的中点记为G，由中位线定理，FG//AB，同时CE//AB，且CE=FG=1/2AB，则CFGE为平行四边形，得出CF//EG，从而CF//面APE
2、取BC的中点H，PB=PC，则PH⊥BC，另外OH⊥BC，则BC⊥面POH，从而BC⊥PO，最后得出PO⊥BC，PO⊥AE，则PO⊥面ABCE