y=tanx/x在[0,π/2]为增函数吗?为什么证明下

y=tanx/x在[0,π/2]为增函数吗?为什么证明下
y=tanx/x在[0,π/2]为增函数吗?为什么证明下

y=tanx/x在[0,π/2]为增函数吗?为什么证明下
先求一下tanx的导数：
(tanx)'
=(sinx/cosx)'
=[(cosx)^2+(sinx)^2]/(cosx)^2
=1/(cosx)^2
对函数求导
y'=[x(tanx)'-tanx]/x^2
=[x/(cosx)^2-sinxcosx/(cosx^2)]/x^2
=(x-sinxcosx)/(xcosx)^2
其中,分母(xcosx)^2≥0,只要看分子就可以了
关于分子x-sinxcosx：
在x=0时：x-sinxcosx=0
在x=π/2时：x-sinxcosx=π/2
对于该函数：继续判断其增减性：
设分子g=x-sinxcosx
g'=1-(cosx)^2+(sinx)^2=2(sinx)^2≥0(x于题目所给区间)
于是,分子是增函数,而区间内分子在区间左端点0时的值为0,因此分子g≥0
于是y'的分子分母均不小于0,可以知道y'≥0,由此可以得到原函数y是增函数

答：y=tanx/x，在[0,π/2]为增函数的说法是错误的，第一x不能为0（分母为0函数无意义）；第二x不能为π/2（tanπ/2无意义）。