求Y=sin²X+sinX+cosX+2 （X∈R）值域

求Y=sin²X+sinX+cosX+2 （X∈R）值域
求Y=sin²X+sinX+cosX+2 （X∈R）值域

求Y=sin²X+sinX+cosX+2 （X∈R）值域
y=sin²x+sinx+cosx+2
=(1-cos2x)/2+√2sin(x+л/4)+2
=(1/2)*sin(2x+л/2)+ √2*sin(x+л/4)+5/2；
=(1/2)*sin(2θ)+ √2*sin(θ)+5/2；θ=x+л/4；
求导得：y’=cos(2θ)+ √2*cosθ=0；
2cos²θ+ √2*cosθ-1=0；
cosθ=(√10-√2)/4
sinθ=±√(1-cos²θ)=±[√(1+√5)]/2；
sin(2θ)= sinθ*cosθ=±{[√(1+√5)]/2}*(√10-√2)/4=±[√(2√5-2)]/4；
Max y=(1/2)* [√(2√5-2)]/4+√2*(√10-√2)/4+5/2=[√(2√5-2)]/8+√5/2+2；
Min y=(1/2)* [-√(2√5-2)]/4+ √2*(-√10-√2)/4+5/2=3-[√(2√5-2)]/8-√5/2