作业帮证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线之和假设你只有初中的知识,只用几何法证明,谢谢.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/08 18:03:38
证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线之和假设你只有初中的知识,只用几何法证明,谢谢.
证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线之和
假设你只有初中的知识,只用几何法证明,谢谢.
证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线之和假设你只有初中的知识,只用几何法证明,谢谢.
证明：如图
过A,D两点做BC边的高,垂足分别为E、F
则易知△ABE≌△DCF
BE=CF,AE=DF
利用勾股定理得
BD²=BF²+DF²
BD²=（BC+CF）²+DF²
=BC²+2*BC*CF+CF²+DF²
AC²=AE²+CE²
=AE²+（BC-BE）²
=AE²+BC²-2*BC*BE+BE²
所以BD²+AC²=（BC²+2*BC*CF+CF²+DF²）+（AE²+BC²-2*BC*BE+BE²）
=2*BC²+2（CF²+DF²）
=2*BC²+2*CD²
=BC²+AD²+AB²+CD²
即
BD²+AC²=BC²+AD²+AB²+CD²
证明：若平行四边形是矩形，则结论显然成立。
否则，四个角中至少有两个是锐角，不妨假设角B=D为锐角。
分别过点A，D作BC的垂线，垂足分别为E，F.
则点E落在BC上，F在BC的延长线上，且AE=DF,BE=CF.
在直角三角形ACE中，由勾股定理：
AC^2=AE^2+CE^2=AE^2+(BC-BE)^2=AE^2+BC^2+BE^2-2BC*BE,
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证明：若平行四边形是矩形，则结论显然成立。
否则，四个角中至少有两个是锐角，不妨假设角B=D为锐角。
分别过点A，D作BC的垂线，垂足分别为E，F.
则点E落在BC上，F在BC的延长线上，且AE=DF,BE=CF.
在直角三角形ACE中，由勾股定理：
AC^2=AE^2+CE^2=AE^2+(BC-BE)^2=AE^2+BC^2+BE^2-2BC*BE,
同理，在直角三角形BDF中可得：
BD^2=DF^2+(BC+CF)^2=DF^2+BC^2+CF^2+2BC*CF,
两式相加，注意到AE=DF,BE=CF,可得
AC^2+BD^2=2AE^2+2BE^2+2BC^2,
在直角三角形ABE中，有AB^2=AE^2+BE^2,
由上两式可得AC^2+BD^2=2AB^2+2BC^2=AB^2+BC^2+CD^2+DA^2.
收起
下面的仁兄抢答了，但有漏洞，这是文字题，应写已知，求证。
已知平行四边行
求证。。。。。
兄弟，你的问题需要改改
平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和
你画个平行四边形，设长边为x 短边为y两条对角线为a,b,高为h 高要
证明：如图 过A，D两点做BC边的高，垂足分别为E、F 则易知△ABE≌△DCF BE=CF，AE=DF 利用勾股定理得 BD²=BF²+DF² BD²=（BC+CF）²+DF² =BC²+2*BC*CF+CF²+DF² AC²=AE²+CE² =AE²+（BC-BE）² =AE²+BC²-2*BC*BE+BE² 所以BD²+AC²=（BC²+2*BC*CF+CF²+DF²）+（AE²+BC²-2*BC*BE+BE²） =2*BC²+2（CF²+DF²） =2*BC²+2*CD² =BC²+AD²+AB²+CD² 即 BD²+AC²=BC²+AD²+AB²+CD²
都这么专业，我就不多说了，大家的都是正解。