在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边分别用a、b、c表示（1）如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍,我们称这样的三角形为“倍角三角形”.对于任意的倍角三角形ABC,其中∠A=2∠B,关系

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/05 23:28:25

在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边分别用a、b、c表示（1）如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍,我们称这样的三角形为“倍角三角形”.对于任意的倍角三角形ABC,其中∠A=2∠B,关系
在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边分别用a、b、c表示
（1）如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍,我们称这样的三角形为“倍角三角形”.对于任意的倍角三角形ABC,其中∠A=2∠B,关系式a^2=b(b+c)是否成立?并证明你的结论；
（2）试求出一个倍角三角形的三条边的长,使这三条边长恰为三个连续的正整数

在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边分别用a、b、c表示（1）如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍,我们称这样的三角形为“倍角三角形”.对于任意的倍角三角形ABC,其中∠A=2∠B,关系
（1）∵∠A=2∠B
∴∠C=π-∠A-∠B=π-3∠B
由正弦定理得
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
即a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,
∴b(b+c)=2RsinB（2RsinB+2RsinC）
=4R²sinB（sinB+sin(π-3∠B))
=4R²sinB（sinB+sin(3∠B))
=4R²sinB（2sin2BcosB)
=4R²sin2B×sin2B
=4R²sin²2B
又∵a²=4R²sin²A=4R²sin²2B
∴a²=b(b+c)
（2）若∠B<∠A<∠C,则设三边长为a=n+1,b=n,c=n+2,
由（1）得（n+1)²=n(n+n+2)
解得n=1
所以三边长为1,2,3（开不成三角形,舍去）
若∠C<∠B<∠A,则设三边长为a=n+2,b=n+1,c=n,
由（1）得（n+2)²=（n+1）(n+1+n)
解此方程无整数解
所以不存在这样的正整数

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1）∵∠A=2∠B
∴∠C=π-∠A-∠B=π-3∠B
由正弦定理得
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
即a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,
∴b(b+c)=2RsinB（2RsinB+2RsinC）
=4R²sinB（sinB+sin(π-3∠B))
=4R²sinB（sinB+sin(3∠B))
=4R²sinB（2sin2BcosB)
=4R²sin2B×sin2B
=4R²sin²2B
又∵a²=4R²sin²A=4R²sin²2B
∴a²=b(b+c)
（2）若∠B<∠A<∠C,则设三边长为a=n+1,b=n,c=n+2,
由（1）得（n+1)²=n(n+n+2)
解得n=1
所以三边长为1，2，3（开不成三角形，舍去）
若∠C<∠B<∠A,则设三边长为a=n+2,b=n+1,c=n,
由（1）得（n+2)²=（n+1）(n+1+n)
解此方程无整数解
所以不存在这样的正整数

收起

Sin A/Sin B=a/b
由题可知：SinA=2SinB*CosB=>CosB=a/(2b)
CosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)
a/(2b)= (a^2+c^2-b^2)/(2ac)
所以化简得a^2=b(b+c)
三个连续的整数分别是a=6,b=4,c=5

初中知识也可以解答
1，构造相似三角形
2，代入解方程