设X服从上的均匀分布,求X²的分布函数和密度函数.

设X服从上的均匀分布,求X²的分布函数和密度函数.
设X服从上的均匀分布,求X²的分布函数和密度函数.

设X服从上的均匀分布,求X²的分布函数和密度函数.
设X的密度函数为f(x),X²的分布函数为G(y),密度函数为g(y)
f(x)=1/2 -1≤x≤1
0 其它
G(y)=P(X²≤y)
(1)当y1时,P(X²≤y)=P(-√y≤X≤√y)=∫[-√y→√y] f(x) dx
=∫[-√y→-1] 0 dx + ∫[-1→1] 1/2 dx + ∫[1→√y] 0 dx
=1

因此：X²的分布函数为
G(y)=0 y1
密度函数为：
g(y)=G'(y)=1/(2√y) 0

因为X在[-1，1]上服从均匀分布，故X的概率密度为
fX(x)=1/2,x∈[-1，1]
因为Y=X^2
所以当x∈[-1，1]时，y∈[0,1]
当y≤0或y≥1时，Y的概率密度fY(y)=0
当0≤y≤1时，x的反函数为x=-√y，当x∈[-1，0]；x=√y，当x∈[0，1]；
由于y=x^2在x∈[-1，1]上分支单调，即在
x∈[...

全部展开

因为X在[-1，1]上服从均匀分布，故X的概率密度为
fX(x)=1/2,x∈[-1，1]
因为Y=X^2
所以当x∈[-1，1]时，y∈[0,1]
当y≤0或y≥1时，Y的概率密度fY(y)=0
当0≤y≤1时，x的反函数为x=-√y，当x∈[-1，0]；x=√y，当x∈[0，1]；
由于y=x^2在x∈[-1，1]上分支单调，即在
x∈[-1，0]单调递减，在x∈[0，1]单调递增
所以fY(y)=fX(-√y)|(-√y)'|+fX(√y)|(√y)'|=(1/2)×|-1/(2√y)|+(1/2)×|1/(2√y)|=1/(2√y)
综上，fY(y)=1/(2√y),y∈[0，1]
【【不清楚，再问；满意， 请采纳！祝你好运开☆！！】】

收起