设锐角三角形ABC的内角A B C的对边分别为a b c,且bcosC=(2a-c)cosB.求角B的大小,求sinA+sinC的取值范围

设锐角三角形ABC的内角A B C的对边分别为a b c,且bcosC=(2a-c)cosB.求角B的大小,求sinA+sinC的取值范围
设锐角三角形ABC的内角A B C的对边分别为a b c,且bcosC=(2a-c)cosB.求角B的大小,求sinA+sinC的取值范围

设锐角三角形ABC的内角A B C的对边分别为a b c,且bcosC=(2a-c)cosB.求角B的大小,求sinA+sinC的取值范围
先用正弦定理把边化为角.
sinBcosC=(2sinA-sinC)cosB
sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB
sin(B+C)=sinA=2sinAcosB
cosB=1/2
B=π/3(60°)
sinA+sinC=sinA+sin(2π/3-A)
=sinA+√3/2*cosA+1/2*sinA
=sinA*3/2+cosA*√3/2
=√3*sin(A+π/6)
因为 0

（1）bcosC=(2a-c)cosB
b(a＾2+b＾2-c＾2)/2ab=(2a-c)(a＾2+c＾2-b＾2)/2ac
ca＾2+cb＾2-c＾3=2a＾3+2ac＾2-2ab＾2-ca＾2-c＾3+cb＾2
ac=a＾2+c＾2-b＾2
cosB=(a＾2+c＾2-b＾2)/2ac=1/2
∵锐角三角形ABC
∴B=60°

全部展开

（1）bcosC=(2a-c)cosB
b(a＾2+b＾2-c＾2)/2ab=(2a-c)(a＾2+c＾2-b＾2)/2ac
ca＾2+cb＾2-c＾3=2a＾3+2ac＾2-2ab＾2-ca＾2-c＾3+cb＾2
ac=a＾2+c＾2-b＾2
cosB=(a＾2+c＾2-b＾2)/2ac=1/2
∵锐角三角形ABC
∴B=60°
（2）sinA+sinC=2sin[(A+C)/2]cos[(A-C)/2]
=(√3)cos[(A-C)/2]
-π/4＜(A-C)/2＜π/4
√2/2＜cos[(A-C)/2]≤1
∴(√6)/2＜sinA+sinC≤√3

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