作业帮已知xyz=-6,x+y+z=2,x^2+y^2+z^2=14,求代数式1/(xy+2z)+1/(yz+2x)+1/(zx+2y)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/09 04:59:50
已知xyz=-6,x+y+z=2,x^2+y^2+z^2=14,求代数式1/(xy+2z)+1/(yz+2x)+1/(zx+2y)
已知xyz=-6,x+y+z=2,x^2+y^2+z^2=14,求代数式1/(xy+2z)+1/(yz+2x)+1/(zx+2y)
已知xyz=-6,x+y+z=2,x^2+y^2+z^2=14,求代数式1/(xy+2z)+1/(yz+2x)+1/(zx+2y)
原理:
将代数式 1/(xy+2z)+1/(yz+2x)+1/(zx+2y) 变换为用xyz ,x+y+z,x^2+y^2+z^2表示的式子
(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz=4
xy+xz+yz=(4-14)/2=-5
xy+2z=xy+(x+y+z)z=xy+xz+yz+z^2=-5+z^2
又xy=-6/z xy+2z=-6/z+2z
1/(xy+2z)=1/(-5+z^2) =1/(-6z+2z）＝z/(2z^2-6)
所以z(-5+z^2)=2z^2-6 z^3 -2z^2-5z+6=0
z^3-z^2 -z^2-5z+6=z^2(z-1) -(z^2+5z-6)
=z^2(z-1)-(z+6)(z-1) =(z-1)(z^2-z-6)=0
得z1=1 z2=-1 z3=6
将z1=1代入xyz=-6得 xy=-6 代入x+y+z=2 得 x+y=1 x=3 y=-2
x=3 y=-2 z=1 代入x^2+y^2+z^2= 9+4+1=14符合条件
所以将x=3 y=-2 z=1代入原式=-1/4+1/4 -1=-1
(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz=4
xy+xz+yz=-5
1/x+1/y+1/z=5/6
(x+y)/(xy)+1/z=5/6
(z-2)z/6+1/z=5/6
z^3-2z^2-5z+6=0
解得z=-2,1,3
将其带入
原式=-1
②²﹣③得，2（xy+yz+zx)=-10
xy+yz+zx=-5
∴x、y、z是方程A³-2A²-5A-6=0的根。
A³-2A²-5A-6=(A³-2A²+A)-6（A+1)=(A+1)(A²-A-6)=(A+1)(A-3)(A+2)
∴三个根：-2、-1、3
...
全部展开
②²﹣③得，2（xy+yz+zx)=-10
xy+yz+zx=-5
∴x、y、z是方程A³-2A²-5A-6=0的根。
A³-2A²-5A-6=(A³-2A²+A)-6（A+1)=(A+1)(A²-A-6)=(A+1)(A-3)(A+2)
∴三个根：-2、-1、3
不妨设x=-2，y=-1，z=3
∴xy+2z=8 yz+2x=-7 zx+2y=-8
∴原式=1/8+1/(-7)+1/(-8)=-1/7
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