设A为4阶方阵,其伴随矩阵的特征值为1,-2,-4,-8,证明A与对角矩阵相似,并写出对角矩阵的一种情况.

设A为4阶方阵,其伴随矩阵的特征值为1,-2,-4,-8,证明A与对角矩阵相似,并写出对角矩阵的一种情况.
设A为4阶方阵,其伴随矩阵的特征值为1,-2,-4,-8,证明A与对角矩阵相似,并写出对角矩阵的一种情况.

设A为4阶方阵,其伴随矩阵的特征值为1,-2,-4,-8,证明A与对角矩阵相似,并写出对角矩阵的一种情况.
由于|A*|=1*(-2)*(-4)*(-8)=-64≠0,则A*可逆
AA*=|A|E,得|AA*|=| |A|E |=|A|^4*|E|=|A|^4,因此|A*|=|A|^3,可得|A|=-4
AA*=|A|E,则A=|A|(A*)^(-1),(A*)^(-1)的特征值为1,-1/2,-1/4,-1/8
则A的特征值为-4,2,1,1/2,（就是将(A*)^(-1)的特征值都乘以-4即可）
因此A有4个不同的特征值,则每个特征值均可求出一个特征向量,
因此A有4个线性无关的特征向量,因此A可对角化.
对角矩阵为(-4,2,1,1/2),这是对角线无素,其余元素为0