如图,已知三角形ABC的外接圆为圆O,P是CB延长线上一点,连接AP,且角PAB=角PCA,求证PA是圆O的切线.

如图,已知三角形ABC的外接圆为圆O,P是CB延长线上一点,连接AP,且角PAB=角PCA,求证PA是圆O的切线.
如图,已知三角形ABC的外接圆为圆O,P是CB延长线上一点,连接AP,且角PAB=角PCA,求证PA是圆O的切线.

如图,已知三角形ABC的外接圆为圆O,P是CB延长线上一点,连接AP,且角PAB=角PCA,求证PA是圆O的切线.
连接AO,并延长交圆O于D,连接CD
故：∠ACD=90°（直径所对的圆周角为90°）
因为∠DCB=∠BAD（同弧所对的圆周角相等）,∠PAB=∠PCA
故：∠PAD=∠PAB+∠BAD=∠PCA+∠DCB=∠ACD=90°
故：PA⊥AO
故：PA是圆O的切线

证明：
连接A、B
∵∠PAB=∠PCA
∠A=∠A
∴△PAB∽△PCA
∴∠C=∠PAB
∴PA是圆O的切线（弦切角定理的逆定理：角的度数等于所夹弧度的一半的角为弦切角。）

证明：做直径AD，连接BD
∵AD是直径
∴∠ABD=90°
∴∠D+∠BAD=90°
∵∠D=∠C，∠C=∠PAB
∴∠BAD+∠PAB=90°
即∠PAD=90°
∴PA是⊙O的切线
PS：这个是弦切角定理的逆定理