已知数列an满足a1=3an+1=an^2+2an其中n=1,2,3……设bn=log2(an+1),求证数列是等比数列

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/05 15:55:48

已知数列an满足a1=3an+1=an^2+2an其中n=1,2,3……设bn=log2(an+1),求证数列是等比数列
已知数列an满足a1=3an+1=an^2+2an其中n=1,2,3……设bn=log2(an+1),求证数列是等比数列

已知数列an满足a1=3an+1=an^2+2an其中n=1,2,3……设bn=log2(an+1),求证数列是等比数列
证:
b1=log2(a1+1)=log2(3+1)=log2(4)=2
a(n+1)=an²+2an
a(n+1)+1=an²+2an+1=(an+1)²
b(n+1)=log2[a(n+1)+1]=log2[(an+1)²]=2log2(an+1)=2bn
b(n+1)/bn=2,为定值.
数列{bn}是以2为首项,2为公比的等比数列.

由已知,a(n+1)=an^2+2an,
所以 a(n+1)+1=an^2+2an+1=(an+1)^2 ,又 a1+1=3+1=4=2^2,
因此,由归纳法可知,an+1=2^(2^n),
则 bn=log2(an+1)=2^n ,所以是等比数列 。