数列的通项公式an=(n+1)^2 (n为正整数),f(n)=(1-1/a1)*.(1-1/an).求f(n)的表达式

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/08 20:02:53

数列的通项公式an=(n+1)^2 (n为正整数),f(n)=(1-1/a1)*.(1-1/an).求f(n)的表达式
数列的通项公式an=(n+1)^2 (n为正整数),f(n)=(1-1/a1)*.(1-1/an).求f(n)的表达式

数列的通项公式an=(n+1)^2 (n为正整数),f(n)=(1-1/a1)*.(1-1/an).求f(n)的表达式
设bn=1-1/an=n*(n+2)/(n+1)^2,
所以f(n)=b1*...*bn=n!*[(n+2)!/2]/[(n+1)!]^2=1/2*(n+2)/(n+1)

f(n)=(n+2)/2(n+1)

1-1/an=1-1/(n+1)^2=(n+2)n/(n+1)^2
f(n)=(n+2)/2(n+1)

答案为 (n+2)/2(n+1)
过程比较麻烦~~~~

f(1)=(1-1/2^2)
f(n)=(1-1/(n+1)^2)*f(n-1) n>1

1-1/a1=(a1-1)/a1=3*1/2^2=1/2 * 3/2
1-1/a2=4*2/3^2=2/3*4/3
1-1/a3=5*3/4^2=3/4*5/4
……
1-1/an=[n/(n+1)]*[(n+2)/(n+1)]
f(n)=1/2*3/2*2/3*4/3*3/4*5/4*...*[n/(n+1)]*[(n+2)/(n+1)]
=1/2*(n+2)/(n+1)

1-(1/an)=n(n+2)/(n+1)² n=1,2.3,...
1-1/a1=(1×3)/2²
1-1/a2=(2×4)/3²
1-1/a3=(3×5)/4²
...
1-1/an=n(n+2)/(n+1)²
上面式子相乘可得
f(n)=(n!)[(n+2)!/2]/[(n+1)!]²
=(n+2)/[2(n+1)]

(n+2)/2(n+1)