大学文科数学,求不定积分∫√1-x ² arcsinx dx.注：根号包括到1-x²,根式与反函数的关系是乘法

大学文科数学,求不定积分∫√1-x ² arcsinx dx.注：根号包括到1-x²,根式与反函数的关系是乘法
大学文科数学,求不定积分
∫√1-x ² arcsinx dx.
注：根号包括到1-x²,根式与反函数的关系是乘法

大学文科数学,求不定积分∫√1-x ² arcsinx dx.注：根号包括到1-x²,根式与反函数的关系是乘法
求不定积分∫[√(1-x ²)] arcsinx dx.
设arcsinx=u,则x=sinu,dx=cosudu,代入原式得：
原式=∫[√(1-sin²u)]ucosudu=∫ucos²udu=(1/2)∫u(1+cos2u)du=(1/2)[∫udu+∫ucos2udu]
=(1/2)[u²/2+(1/2)∫udsin(2u)]=u²/4+(1/4)[usin2u-∫sin2udu]=u²/4+(1/4)usin2u-(1/8)∫sin2ud(2u)
=u²/4+(1/4)u(2sinucosu)+(1/8)cos2u+C=(1/4)(arcsinx)²+(1/2)(arcsinx)[x√(1-x²)]+(1/8)(1-2x²)+C
其中sinucosu=sinu√(1-sin²u)=x√(1-x²)；cos2u=1-2sin²u=1-2x².

令 x=sint
有 dx = costdt
所以原式= ∫ tcos²tdt
= (1/2)∫t(1+cos2t) dt
= (1/2)∫tdt +(1/2)∫(tcos2t) dt
=t²/4 + (1/4)(tsin2t -∫sin2tdt) 分部积分法
=t²/4 + tsin2t/4 + cos2t/4 + C

请把下面的结果放到LATEX 中运行即可得到结果

求$\int\sqrt{1-x^2}\arcsin x dx=$\\

解:令$u=\arcsin x$,$v^,=\sqrt{1-x^2}$,\\

则有$u^,=1/\sqrt{1-x^2}$,$v=\int\sqrt{1-x^2} dx=1/2\arcsin x +x/2 \cdot\sqrt{1-x^2}+C$\\

而$\int u^,v dx=\int 1/\sqrt{1-x^2}\cdot(1/2\arcsin x +x/2 \cdot \sqrt{1-x^2}) dx\\

=1/4(\arcsin x)^2+1/4 x^2+C$;\\

$uv=1/2(\arcsin x)^2+x/2\sqrt{1-x^2}\cdot\arcsin x$\\

所以,原式=$uv-\int u^,v dx\\=\{1/2(\arcsin x)^2+x/2 \cdot\sqrt{1-x^2}\cdot\arcsin x\}-\{1/4(\arcsin x)^2+1/4 x^2+C\}\\

=1/4(\arcsin x)^2+x/2 \cdot \sqrt{1-x^2}\cdot\arcsin x-1/4 x^2+C$.