如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上,OA=4,OC=2．点P从点O出发,沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,当点P到达点A时停止运动,设点P运动的时间是t秒．

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/06 09:33:51

如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上,OA=4,OC=2．点P从点O出发,沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,当点P到达点A时停止运动,设点P运动的时间是t秒．
如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上,OA=4,OC=2．点P从点O出发,沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,当点P到达点A时停止运动,设点P运动的时间是t秒．将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D,点D随点P的运动而运动,连接DP、DA．
（1）请用含t的代数式表示出点D的坐标；
（2）求t为何值时,△DPA的面积最大,最大为多少?
（3）在点P从O向A运动的过程中,△DPA能否成为直角三角形?若能,求t的值．若不能,请说明理由；
（4）请直接写出随着点P的运动,点D运动路线的长．

如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上,OA=4,OC=2．点P从点O出发,沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,当点P到达点A时停止运动,设点P运动的时间是t秒．
（1）∵点P从点O出发,沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,
∴OP=t,而OC=2,
∴P（t,0）,
设CP的中点为F,
则F点的坐标为（ t/2,1）,
∴将线段CP的中点F绕点P按顺时针方向旋转90°得点D,其坐标为（t+1, t/2）；
（2）∵D点坐标为（t+1, t/2）,OA=4,
∴S△DPA= 1/2AP×1= 1/2（4-t）× t/2= 1/4（4t-t²）,
∴当t=2时,S最大=1；
（3）能够成直角三角形．
①当∠PDA=90°时,PC∥AD,由勾股定理得,PD²+AD²=AP²,
即（ t/2）²+1+（4-t-1）²+（ t/2）²=（4-t）²,
解得,t=2或t=-6（舍去）．
∴t=2秒．
②当∠PAD=90°时,此时点D在AB上,即t+1=4,t=3秒．
综上,可知当t为2秒或3秒时,△DPA能成为直角三角形．
（3）∵根据点D的运动路线与OB平行且相等,OB=2√ 5,
∴点D运动路线的长为2 √5．

全部展开

（3）先判断出可能为直角的角，再根据勾股定理求解；
（4）根据点D的运动路线与OB平行且相等解答即可．
（1）∵点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，
∴OP=t，而OC=2，
∴P（t，0），
设CP的中点为F，
则F点的坐标为（
t
2
，1），
∴将线段CP的中点F绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，其坐标为（t 1，
t
2
）；
（2）∵D点坐标为（t 1，
t
2
），OA=4，
∴S△DPA=
1
2
AP×
t
2
=
1
2
（4-t）×
t
2
=
1
4
（4t-t2），
∴当t=2时，S最大=1；
（3）能够成直角三角形．
①当∠PDA=90°时，PC∥AD，
由勾股定理得，PD2 AD2=AP2，
即（
t
2
）2 1 （4-t-1）2 （
t
2
）2=（4-t）2，
解得，t=2或t=-6（舍去）．
∴t=2秒．
②当∠PAD=90°时，此时点D在AB上，
可知，△COP∽△PAD，
∴
CP
PD
=
CO
PA
，
∴
2
1
=
2
PA
，
PA=1，
即t 1=4，t=3秒．
综上，可知当t为2秒或3秒时，△DPA能成为直角三角形．
（4）∵根据点D的运动路线与OB平行且相等，OB=2
5
，
∴点D运动路线的长为2
5
．

收起

1,D点的坐标1+t，1/2t
2，S=1/2*（4-t）*1/2t
=-1/4t²+t
当t=2时
最大面积S=1
3，能
当D落在AB上时△DPA为直角三角形
设D点的坐标为XY
Y/t=X-t/2=1/2
X=1+t
Y=1/2t
t=3时，△DPA成为直角三角形
4，点D运动路线的长为4