设e1,e2,e3是空间向量的一组基底,求证e1-e2,e2-2e3,e3-3e1也是一组基底

设e1,e2,e3是空间向量的一组基底,求证e1-e2,e2-2e3,e3-3e1也是一组基底
设e1,e2,e3是空间向量的一组基底,求证e1-e2,e2-2e3,e3-3e1也是一组基底

设e1,e2,e3是空间向量的一组基底,求证e1-e2,e2-2e3,e3-3e1也是一组基底
两组向量都含3个向量
所以只需证它们等价(可以互相线性表示)即可
(e1-e2,e2-2e3,e3-3e1) = (e1,e2,e3)K
K =
1 0 -3
-1 1 0
0 -2 1
因为 |K|= -5 ≠ 0
所以 K 可逆.
故两个向量组等价.
注: 两个向量组等价包含有2个信息
1. 等价的向量组的秩相同
由向量组(I)是基底知其线性无关, 故向量组(II)也线性无关
2. 由向量组(I)是基底, 故向量空间中任一向量可由(I)线性表示
而由(I),(II)等价知, 向量空间中任一向量可由(II)线性表示
故(II)也是基底.

k1(e1-e2)+k2(e2-2e3)+k3(e3-3e1)=0
(k1-3k3)e1+(-k1+k2)e2+(-2k2+k3)=0
=>
k1-3k3 =0 and (1)
-k1+k2 =0 and (2)
-2k2+k3 =0 (3)
(1)+(2)...

全部展开

k1(e1-e2)+k2(e2-2e3)+k3(e3-3e1)=0
(k1-3k3)e1+(-k1+k2)e2+(-2k2+k3)=0
=>
k1-3k3 =0 and (1)
-k1+k2 =0 and (2)
-2k2+k3 =0 (3)
(1)+(2)
k2-3k3=0 (4)
2(4)+(3)
k3=0
from(1)
k2=0
from (2)
k1=0
k1,k2,k3 =0
=>e1-e2,e2-2e3,e3-3e1 are linearly independent
=> e1-e2,e2-2e3,e3-3e1也是一组基底

收起