如图,在rt三角形ABC中,角C=90,角ABC的平分线交AC于点D,O是AB上一点,圆O过B,D两点,且分别交AB,BC于E,F.求证AC是圆O的切线

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/08 21:35:45

如图,在rt三角形ABC中,角C=90,角ABC的平分线交AC于点D,O是AB上一点,圆O过B,D两点,且分别交AB,BC于E,F.求证AC是圆O的切线
如图,在rt三角形ABC中,角C=90,角ABC的平分线交AC于点D,O是AB上一点,圆O过B,D两点,
且分别交AB,BC于E,F.求证AC是圆O的切线

如图,在rt三角形ABC中,角C=90,角ABC的平分线交AC于点D,O是AB上一点,圆O过B,D两点,且分别交AB,BC于E,F.求证AC是圆O的切线
因为是圆
所以OB=OD=半径
所以角ODB=角OBD（等腰）
又角平分线,所以角OBD=角DBC=角ODB
所以OD∥BC
又角C是90°,所以OD⊥AC
即,AC是圆的切线

证明：连接OD．
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB（等角对等边）；
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ODB=∠DBC（等量代换），
∴OD∥BC（内错角相等，两直线平行）；
又∵∠C=90°（已知），
∴∠ADO=90°（两直线平行，同位角相等），
∴AC⊥OD，即AC是⊙O的切线；

...

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证明：连接OD．
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB（等角对等边）；
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ODB=∠DBC（等量代换），
∴OD∥BC（内错角相等，两直线平行）；
又∵∠C=90°（已知），
∴∠ADO=90°（两直线平行，同位角相等），
∴AC⊥OD，即AC是⊙O的切线；

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