如图所示,直线AC‖BD,连接AB,直线AC,BD及线段AB把平面分成①②③④四个部分,规定:如图所示,直线AC‖BD,连接AB,直线AC,BD及线段AB把平面分成①②③④四个部分,规定：线上各点不属于任何部分.当

如图所示,直线AC‖BD,连接AB,直线AC,BD及线段AB把平面分成①②③④四个部分,规定:如图所示,直线AC‖BD,连接AB,直线AC,BD及线段AB把平面分成①②③④四个部分,规定：线上各点不属于任何部分.当
如图所示,直线AC‖BD,连接AB,直线AC,BD及线段AB把平面分成①②③④四个部分,规定:
如图所示,直线AC‖BD,连接AB,直线AC,BD及线段AB把平面分成①②③④四个部分,规定：线上各点不属于任何部分.当动点P落在某个部分时,连接PA,PB,构成∠PAC,∠APB,∠PBD三个角（提示有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°的角）
（1）当动点P落在第①部分时,求证∠APB＝∠PAC＋∠PBD

如图所示,直线AC‖BD,连接AB,直线AC,BD及线段AB把平面分成①②③④四个部分,规定:如图所示,直线AC‖BD,连接AB,直线AC,BD及线段AB把平面分成①②③④四个部分,规定：线上各点不属于任何部分.当
图呢

如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）
（1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD；
（2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是...

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如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）
（1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD；
（2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？（直接回答成立或不成立）
（3）当动点P在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．
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分析：（1）如图1延长BP交直线AC于点E，由AC∥BD，可知∠PEA=∠PBD．由∠APB=∠PAE+∠PEA，可知∠APB=∠PAC+∠PBD；
（2）过点P作AC的平行线，根据平行线的性质解答；
（3）根据P的不同位置，分三种情况讨论．
（1）解法一：如图1延长BP交直线AC于点E．
∵AC∥BD，∴∠PEA=∠PBD．
∵∠APB=∠PAE+∠PEA，
∴∠APB=∠PAC+∠PBD；
解法二：如图2
过点P作FP∥AC，
∴∠PAC=∠APF．
∵AC∥BD，∴FP∥BD．
∴∠FPB=∠PBD．
∴∠APB=∠APF+∠FPB
=∠PAC+∠PBD；
解法三：如图3，
∵AC∥BD，
∴∠CAB+∠ABD=180°，
∠PAC+∠PAB+∠PBA+∠PBD=180°．
又∠APB+∠PBA+∠PAB=180°，
∴∠APB=∠PAC+∠PBD．
（2）不成立．
（3）（a）
当动点P在射线BA的右侧时，结论是
∠PBD=∠PAC+∠APB．
（b）当动点P在射线BA上，
结论是∠PBD=∠PAC+∠APB．
或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°，
∠PAC=∠PBD（任写一个即可）．
（c）当动点P在射线BA的左侧时，
结论是∠PAC=∠APB+∠PBD．
选择（a）证明：
如图4，连接PA，连接PB交AC于M．
∵AC∥BD，
∴∠PMC=∠PBD．
又∵∠PMC=∠PAM+∠APM（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∴∠PBD=∠PAC+∠APB．
选择（b）证明：如图5
∵点P在射线BA上，∴∠APB=0度．
∵AC∥BD，∴∠PBD=∠PAC．
∴∠PBD=∠PAC+∠APB
或∠PAC=∠PBD+∠APB
或∠APB=0°，∠PAC=∠PBD．
选择（c）证明：
如图6，连接PA，连接PB交AC于F
∵AC∥BD，∴∠PFA=∠PBD．
∵∠PAC=∠APF+∠PFA，
∴∠PAC=∠APB+∠PBD．

收起