判断的函数f(x)的积偶性已知函数f(x)是定义域上恒不为0的函数,且对于任意m,n∈R的都满足f(m*n)=mf(n)+nf(m)判断的函数f(x)的积偶性

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/06 11:20:19

判断的函数f(x)的积偶性已知函数f(x)是定义域上恒不为0的函数,且对于任意m,n∈R的都满足f(m*n)=mf(n)+nf(m)判断的函数f(x)的积偶性
判断的函数f(x)的积偶性
已知函数f(x)是定义域上恒不为0的函数,且对于任意m,n∈R的都满足f(m*n)=mf(n)+nf(m)
判断的函数f(x)的积偶性

判断的函数f(x)的积偶性已知函数f(x)是定义域上恒不为0的函数,且对于任意m,n∈R的都满足f(m*n)=mf(n)+nf(m)判断的函数f(x)的积偶性
令m=-1代入得,f(-n)=-f(n)+nf(-1)
以-n代上式的n:f(n)=-f(-n)-nf(-1)
两式相加得:f(-n)+f(n)=-f(n)-f(-n)
即化得:f(-n)=-f(n)
因此这是奇函数.

令m=n=1,代入则f(1)=2f(1),得f(1)=0,令m=n=-1,代入公式的f(1)=-2f(-1),得f(-1)=0,得f(1)=f(-1),于是可知f(x)为偶函数。