已知二次函数f（x）=ax²+bx+c,若x1＜x2,且f（x1）≠f（x2）求证关于x的方程f（x）=1/2［f（x1）+f（x2）］在区间（x1,x2）内必有一根

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c,若x1＜x2,且f（x1）≠f（x2）求证关于x的方程f（x）=1/2［f（x1）+f（x2）］在区间（x1,x2）内必有一根
已知二次函数f（x）=ax²+bx+c,若x1＜x2,且f（x1）≠f（x2）
求证关于x的方程f（x）=1/2［f（x1）+f（x2）］在区间（x1,x2）内必有一根

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c,若x1＜x2,且f（x1）≠f（x2）求证关于x的方程f（x）=1/2［f（x1）+f（x2）］在区间（x1,x2）内必有一根
设g(x)=f(x)-1/2[f(x1)+f(x2)]
g(x1)=f(x1)-1/2[f(x1)+f(x2)]=1/2[f(x1)-f(x2)]
g(x2)=f(x2)-1/2[f(x1)+f(x2)]=1/2[f(x2)-f(x1)]
因为f(x1)≠f(x2)
所以g(x1)和g(x2)异号
那么在区间(x1,x2)内必有一点,使g(x)=0
即f(x)=1/2[f(x1)+f(x2)]在区间(x1,x2)内必有一根

令F(x)=f(x)-1/2[f(x1)+f(x2)]
则F(x1)=f(x1)-1/2[f(x1)+f(x2)]=1/2[f(x1)-f(x2)]
F(x2)=f(x2)-1/2[f(x1)+f(x2)]=1/2[f(x2)-f(x1)]
因为f(x1)≠f(x2),不妨设f(x1)则F(x1)<0,F(x2)>0,F(x1)F(x2)<0,...

全部展开

令F(x)=f(x)-1/2[f(x1)+f(x2)]
则F(x1)=f(x1)-1/2[f(x1)+f(x2)]=1/2[f(x1)-f(x2)]
F(x2)=f(x2)-1/2[f(x1)+f(x2)]=1/2[f(x2)-f(x1)]
因为f(x1)≠f(x2),不妨设f(x1)则F(x1)<0,F(x2)>0,F(x1)F(x2)<0,
根据零点定理，在区间(x1,x2)内必有一点，使F(x)=0,
即关于x的方程f(x)=1/2［f(x1)+f(x2)］在区间(x1,x2)内必有一根.

收起

另g(x)=f(x)-1/2[f(x1)+f(x2)]
g(x1)=f(x1)-1/2[f(x1)+f(x2)]=1/2[f(x1)-f(x2)]
g(x2)=f(x2)-1/2[f(x1)+f(x2)]=1/2[f(x2)-f(x1)] f(x1)≠f(x2) 所以两个必然是一正一副（相反数）
g(x)为连续函数
所以根据零点定理，函数必然在x1,x2之间有一个根。