平面直角坐标系xoy中,直线x-y+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为根号6 （1）求圆O的方程；（2）若直线l与圆O切于第一象限,且与坐标轴交于D,E,当DE长最小时,求直线l的方程.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/08 03:13:28

平面直角坐标系xoy中,直线x-y+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为根号6 （1）求圆O的方程；（2）若直线l与圆O切于第一象限,且与坐标轴交于D,E,当DE长最小时,求直线l的方程.
平面直角坐标系xoy中,直线x-y+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为根号6
（1）求圆O的方程；
（2）若直线l与圆O切于第一象限,且与坐标轴交于D,E,当DE长最小时,求直线l的方程.

平面直角坐标系xoy中,直线x-y+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为根号6 （1）求圆O的方程；（2）若直线l与圆O切于第一象限,且与坐标轴交于D,E,当DE长最小时,求直线l的方程.
（1）∵圆心O到直线x-y+1=0的距离d=
1
2
,直线截圆所得的弦长为
6
,
∴圆O的半径r=
(1
2
)2+(
6
2
)2
=
2
,
则圆O的方程为x2+y2=2；
（2）设直线l的方程为
x
a
+
y
b
=1（a＞0,b＞0）,即bx+ay-ab=0,
∵直线l与圆O相切,∴圆心到直线的距离d=r,即
|ab|
a2+b2
=
2
,
整理得：
1
a2
+
1
b2
=
1
2
,
则DE2=a2+b2=2（a2+b2）•（
1
a2
+
1
b2
）=2（2+
b2
a2
+
a2
b2
）≥8,
当且仅当a=b=2时取等号,此时直线l方程为x+y-2=0；
（3）存在斜率为2的直线m,使m被圆O截得的弦为AB,以AB为直径的圆经过原点,理由为：
设存在斜率为2的直线m满足题意,
设直线m为y=2x+b,A（x1,y1）,B（x2,y2）,
联立圆与直线解析式得：
x2+y2=2
y=2x+b
,
消去y得：5x2+4bx+b2-2=0,
依题意得：x1+x2=-
4b
5
,x1x2=
b2-2
5
,△＞0,
∵以AB为直径的圆经过原点,
∴
OA
⊥
OB
,∴x1x2+y1y2=0,
即x1x2+（2x1+b）（2x2+b）=5x1x2+2b（x1+x2）+b2=5×
b2-2
5
+2b×（-
4b
5
）+b2=0,
整理得：b2=5,
解得：b=±
5
,经检验△＞0,符合题意,
则存在斜率为2的直线m满足题意,直线m为：y=2x±
5
．