作业帮关于两角差的余弦公式的问题两角差的余弦公式cos(a-b)=.推导的时候为什么说只需考虑0≤a-b≤pai的情况?书上说因为余弦函数的周期为2pai,并且是偶函数,但是这样也应该是研究[-pai,pai]啊,跟偶
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/08 18:32:32
关于两角差的余弦公式的问题两角差的余弦公式cos(a-b)=.推导的时候为什么说只需考虑0≤a-b≤pai的情况?书上说因为余弦函数的周期为2pai,并且是偶函数,但是这样也应该是研究[-pai,pai]啊,跟偶
关于两角差的余弦公式的问题
两角差的余弦公式cos(a-b)=.推导的时候为什么说只需考虑0≤a-b≤pai的情况?书上说因为余弦函数的周期为2pai,并且是偶函数,但是这样也应该是研究[-pai,pai]啊,跟偶函数有什么关系啊?
关于两角差的余弦公式的问题两角差的余弦公式cos(a-b)=.推导的时候为什么说只需考虑0≤a-b≤pai的情况?书上说因为余弦函数的周期为2pai,并且是偶函数,但是这样也应该是研究[-pai,pai]啊,跟偶
证明：在平面直角坐标系xOy内作单位圆O,以Ox为始边作角α,β,它们的终边与单位圆O的交点分别为A,B,则向量OA=(cosα,sinα),向量OB=(cosα,sinβ),
由向量数量积的坐标表示,有
向量OA•向量OB=(cosα,sinα)•(cosβ,sinβ) =cosαcosβ＋sinαsinβ
(1)若α－β∈[0,π],则向量OA与向量OB夹角为α－β,
向量OA•向量OB=｜向量OA｜•｜向量OB｜cos(α－β)=cos(α－β)
于是cos(α－β)=cosαcosβ＋sinαsinβ
(2)若α－β是任意角,设向量OA与向量OB的夹角为θ,则
α－β=2kπ＋θ（θ∈[0,2π],k∈Z）
①θ∈[0,π]时,(1)已证成立
②θ∈[π, 2π]时,2π－θ∈[0,π],则cos(2π－θ)= cosθ= cos(α－β)
所以,对于任意角α,β有cos(α－β)=cosαcosβ＋sinαsinβ
两角差的余弦公式cos(α－β)=cosαcosβ＋sinαsinβ
因为偶函数有关于对称性，研究-pai≤a-b≤0即研究0≤b-a≤pai，但由于对称性cos(a-b)=cos(b-a)，即研究0≤a-b≤pai