[a,b]=1000,[a,c]=2000,[b,c]=2000,求{a,b,c}所有可能情况组数.

[a,b]=1000,[a,c]=2000,[b,c]=2000,求{a,b,c}所有可能情况组数.
[a,b]=1000,[a,c]=2000,[b,c]=2000,求{a,b,c}所有可能情况组数.

[a,b]=1000,[a,c]=2000,[b,c]=2000,求{a,b,c}所有可能情况组数.
首先a、b、c都只能包含2和5两个因数,因为其最小公倍数便只有这两个因数
设a=2^a1*5^a2,b=2^b1*5^b2,c=2^c1*5^c2
a,b最小公倍数=2^3*5^3,所以max(a1,b1)=3,max(a2,b2)=3 (max()表示两数中较大者）
同理,max(a1,c1)=4,max(a2,c2)=3,max(b1,c1)=4,max(b2,c2)=3
这样c1只能为4,a1、b1中较大者=3
1.若a1=3,则b1=0、1、2、3；因为b>a,而b1已经小于或等于a1,所以b2一定大于a2,这样b2=3,a2=0、1、2；当b1=0、1时因为c1=4,c2可以为2或3均能保证c>b,而当b1=2、3时c2必须为3才能保证c>b,这样有2*3*2+2*3*1=18种组合
2.若a1不为3,则b1=3,a1=0、1、2；又a2和b2中较大者为3
（1）若b2=3,则a2可以为0、1、2、3,而c2=3才能保证c>b,3*4=12种组合
（2）若b2不为3,则a2=3,唯一的可能是a1=0时b2可以为2,否则若a1=1或2,由于已知b1=3且a2=3,b2只要不为3就将有a>b.此时a1=0,a2=3; b1=3,b2=2; c1=4,c2可以为2或3,2种组合
所以一共有18+12+2=32种组合