作业帮已知△ABC中,点D是BC 的中点,过点D 的直线分别交直线AB、AC于E、F两点,若向量AB=λAE(λ>0),AC=μAF(μ>0) 则1/λ+4/μ的最小值是 有四个选项 9 二分之七 5 二分之九
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/06 08:41:01
已知△ABC中,点D是BC 的中点,过点D 的直线分别交直线AB、AC于E、F两点,若向量AB=λAE(λ>0),AC=μAF(μ>0) 则1/λ+4/μ的最小值是 有四个选项 9 二分之七 5 二分之九
已知△ABC中,点D是BC 的中点,过点D 的直线分别交直线AB、AC于E、F两点,若向量AB=λAE(λ>0),AC=μAF(μ>0) 则1/λ+4/μ的最小值是
有四个选项 9 二分之七 5 二分之九
已知△ABC中,点D是BC 的中点,过点D 的直线分别交直线AB、AC于E、F两点,若向量AB=λAE(λ>0),AC=μAF(μ>0) 则1/λ+4/μ的最小值是 有四个选项 9 二分之七 5 二分之九
要想简单的做这题,应该知道一个公式,这个公式是必须要记的.即：在直线BC外任取一点A,那么对于直线上的一点D,有AD=(1-x)AB + xAC (这里AD,AB,AC都是向量,且x为BD与BC的比值,0≤x≤1,证明很简单,我就不证了)
以下向量XY,我都用XY表示了. 本题EDF在一直线上,A在直线外,所以有
AD = (1-x)AE + xAF = (1-x) /λ AB + x /μ AC
且 AD= 1/2 AB +1/2 AC 所以 (1-x) /λ =1/2 x /μ =1/2
得 λ + μ =2 ,因为 1/λ+4/μ ≥ .（我不知道怎么打,这个不等式你该知道吧）.等号成立的条件是 1/λ = 4/μ 即 μ = 4λ ,联立 λ + μ =2 得 λ =2/5 μ = 8/5 ,此时1/λ+4/μ 最小值是 5
取AC中点为G，连接DG，因为DG/AE=(CF+CG)/AF，DG=(1/2)AB CG=(1/2)AC, CF/AF=(AF-AC)/AF=1-AC/AF=1-μ所以（1/2）*AB/AE=CF/AF+(1/2)*AC/AF, 根据已知AB=λAE AC=μAF，所以(1/2)*λ=(1/2)*μ+1-μ, 所以整理得λ=2-μ;
则1/λ+4/μ=1/(2-μ)+4/...
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取AC中点为G，连接DG，因为DG/AE=(CF+CG)/AF，DG=(1/2)AB CG=(1/2)AC, CF/AF=(AF-AC)/AF=1-AC/AF=1-μ所以（1/2）*AB/AE=CF/AF+(1/2)*AC/AF, 根据已知AB=λAE AC=μAF，所以(1/2)*λ=(1/2)*μ+1-μ, 所以整理得λ=2-μ;
则1/λ+4/μ=1/(2-μ)+4/μ
>=2√4/（2-μ）*μ √:为根号
=4√1/（-（μ-1）^2+1） 当μ趋近为1时区最小值
=4
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