X大于0,Y大于0 X+Y+XY=2 求X+Y的最小值

X大于0,Y大于0 X+Y+XY=2 求X+Y的最小值
X大于0,Y大于0 X+Y+XY=2 求X+Y的最小值

X大于0,Y大于0 X+Y+XY=2 求X+Y的最小值
解法一：
x>0,y>0,则依二元均值不等式得：
2＝x+y+xy
≤(x+y)+(x+y)²/4
→(x+y)²+4(x+y)-8≥0
→(x+y+2+2√3)(x+y-2√3)≥0.
而x+y+2+2√3>0,
∴x+y+2-2√3≥0,
∴(x+y)|min＝-2+2√3.
解法二：
设x+y＝t(x>0,y>0,即t>0)
代入条件式则
t+(t-x)x＝2
→x²-tx+2-t＝0
判别式不小于0,即
(-t)²-4(2-t)≥0
→t²+4t-8≥0
→(t+2+2√3)(t+2-2√3)≥0.
因t>0→t+2+2√3>0,
∴t+2-2√3≥0.
∴(x+y)|min＝-2+2√3.