当abc满足什么条件时,能使a²+b²+c²-ab-bc-ca=0

当abc满足什么条件时,能使a²+b²+c²-ab-bc-ca=0
当abc满足什么条件时,能使a²+b²+c²-ab-bc-ca=0

当abc满足什么条件时,能使a²+b²+c²-ab-bc-ca=0
a²+b²+c²-ab-bc-ca=a²-a(b+c)+b²+c²-bc=(a-b/2-c/2)²-(b+c)²/4+b²+c²-bc
=(a-b/2-c/2)²+(3/4)b²+(3/4)c²-(3/2)bc=(a-b/2-c/2)²+(3/4)(b-c)²=0
只能是a-b/2-c/2=0 且b-c=0得到a=b=c
或由 a²+b²-2ab=(a-b)²≥0
a²+c²-2ac=(a-c)²≥0
b²+c²-2bc=(b-c)²≥0
三式相加得2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ca=(a-b)²+(a-c)²+(b-c)²≥0
等号成立时仅a-b=a-c=b-c=0 即a=b=c