高等数学求微分方程的通解dy/dx=y/x+e^(y/x)x^2*dy/dx+2xy=5y^3y''''-2y'''+5y''=0

高等数学求微分方程的通解dy/dx=y/x+e^(y/x)x^2*dy/dx+2xy=5y^3y''''-2y'''+5y''=0
高等数学求微分方程的通解
dy/dx=y/x+e^(y/x)
x^2*dy/dx+2xy=5y^3
y''''-2y'''+5y''=0

高等数学求微分方程的通解dy/dx=y/x+e^(y/x)x^2*dy/dx+2xy=5y^3y''''-2y'''+5y''=0
1,dy/dx=y/x+e^(y/x) 为齐次微分方程,
令 u=y/x,则 y=xu,原方程化为 u+xdu/dx=u+e^u,
e(-u)du=dx/x,解得 -e^(-u)=lnx-C,即通解为 e^(-y/x)+lnx=C.
2.x^2*dy/dx+2xy=5y^3 即 d(yx^2)/dx=5y^3,令 u=yx^2,则 y=u/x^2,原方程化为
du/dx=5u^3/x^6,du/u^3=5dx/x^6,-1/(2u^2)=-1/x^5-C/2,即通解为 1/(y^2*x^4)=2/x^5+C.
3.y''''-2y'''+5y''=0,特征方程为 r^4-2r^3+5r^2=0,得特征根是 r=0,0,1±2i,
则通解为 y=A+Bx+e^x(Ccos2x+Dsin2x).

1、令y/x=u，则dy/dx=u+xdu/dx
所以u+xdu/dx=u+e^u
e^(-u)du=dx/x
两边积分：-e^(-u)=ln|x|+C
e^(-u)=-ln|x|+C
-u=-y/x=ln(-ln|x|+C)
y=-xln(-ln|x|+C)
2、d(x^2y)/dx=5y^3
令x^2y=u，则y^3=u^3/x^...

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1、令y/x=u，则dy/dx=u+xdu/dx
所以u+xdu/dx=u+e^u
e^(-u)du=dx/x
两边积分：-e^(-u)=ln|x|+C
e^(-u)=-ln|x|+C
-u=-y/x=ln(-ln|x|+C)
y=-xln(-ln|x|+C)
2、d(x^2y)/dx=5y^3
令x^2y=u，则y^3=u^3/x^6
所以du/dx=5u^3/x^6
du/u^3=5dx/x^6
两边积分：-1/(2u^2)=-1/x^5
2u^2=2x^4y^2=x^5
y^2=x/2
3、特征方程为t^4-2t^3+5t^2=0,t=0（重根）,1±2i
所以y=(C1x+C2)e^0+e^x(C3sin(2x)+C4cos(2x))=C1x+C2+e^x(C3sin(2x)+C4cos(2x))

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