求y=e^(-x^2/2)的单调性,凹凸性,极值点,拐点

求y=e^(-x^2/2)的单调性,凹凸性,极值点,拐点
求y=e^(-x^2/2)的单调性,凹凸性,极值点,拐点

求y=e^(-x^2/2)的单调性,凹凸性,极值点,拐点
显然,函数 y=e^(-x²/2) 在R上连续、可导.
求导,得
y'=(-x)[e^(-x²/2)]……………………①
y"=-[e^(-x²/2)]+(x²)[e^(-x²/2)]
=(x²-1)[e^(-x²/2)]……………………②
由①,
令 y'≥0,则 x≤0；
令 y'≤0,则 x≥0,
可见,该函数的单调递增区间为 (-∞,0],
单调递减区间为 [0,-∞)；
由②,
令 y"≥0,则 x≤-1或x≥1,
令 y"≤0,则 -1≤x≤1,
可见,该函数在 (-∞,-1] 即 [1,+∞) 是下凹的,
在 [-1,1] 是上凸的；
由单调性讨论可知,
函数在 x=0 处有极大值 y=1,
（该值也是其最大值）,
不存在极小值点；
由函数凹凸性讨论可知,
函数的拐点有2个,
为 (±1,e^(-1/2)).
【其图像的变形是“正态分布”图像,你可以查一下,简单又直观】

1) 当 -∞2) x=0 为极大值点；x=±∞，y=0，为最小值；
3) x=±1 为两个拐点；
4) |x|<=1 时，y(x) 显凸性；
|x| >1 时，y(x) 显凹性。