已知复数z=cosθ+isinθ,θ∈[0,2π],w=-1+i,求|z-w|的取值范围

已知复数z=cosθ+isinθ,θ∈[0,2π],w=-1+i,求|z-w|的取值范围
已知复数z=cosθ+isinθ,θ∈[0,2π],w=-1+i,求|z-w|的取值范围

已知复数z=cosθ+isinθ,θ∈[0,2π],w=-1+i,求|z-w|的取值范围
方法一：|z-w|²=(cosθ-1)²+(sinθ+1)²=3-2cosθ+2sinθ=3+2√2sin(θ-π/4)
|z-w|²最小值为3-2√2；最大值为3+2√2.从而|z-w|取值范围是[√2-1,√2+1].
方法二：由复数的几何意义知,z对应的点在单位圆上,w对应点为(-1,1).
于是|z-w|的几何意义是点(-1,1)到单位圆上点的距离,易知点(-1,1)与圆心(0,0)的连线与单位圆的两个交点即使距离分别取得最大值和最小值.(-1,1)与圆心(0,0)的距离为√2,最大、最小距离分别为√2+1和√2-1.于是|z-w|取值范围是[√2-1,√2+1].