已知3sin²a-2sina+2sin²b=0.试求sin²a+sin²b的取值范围

已知3sin²a-2sina+2sin²b=0.试求sin²a+sin²b的取值范围
已知3sin²a-2sina+2sin²b=0.试求sin²a+sin²b的取值范围

已知3sin²a-2sina+2sin²b=0.试求sin²a+sin²b的取值范围
设a=sinα,b=sinβ,-1

因为 0<=sinb<=1
所以 0<=2sin²b<=2;
2sin²b = 2sina-3sin²a;
0<=2sina-3sin²a<=2, 并且 -1<=sina<=1;
解得 0<=sina<=2/3; (2sina-3sin²a<=2 是恒成立的，因为2sina<=2<=2+3sin²a)

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因为 0<=sinb<=1
所以 0<=2sin²b<=2;
2sin²b = 2sina-3sin²a;
0<=2sina-3sin²a<=2, 并且 -1<=sina<=1;
解得 0<=sina<=2/3; (2sina-3sin²a<=2 是恒成立的，因为2sina<=2<=2+3sin²a)
sin²a+sin²b = sin²a + 1/2*(2sina-3sin²a) = sina-1/2*sin²a=1/2*(1-(sina-1)^2);
令sina=x；则可化为f(x)=1/2(1-(x-1)^2); 0<=x<=2/3;
在区间[0,2/3]上，f(x)是单掉递增函数，所以，可以求出
最大值为f（2/3）=4/9; 最小值f（0）=0；
所求取值范围是[0,4/9]

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